Seja V um espaço vetorial sobre K com produto interno.
Mostre que lang<= 0, urang<==0, para todo u in V.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial V munido de produto interno lang<=cdot,cdotrang<=, vale
lang<= 0,urang<= = 0
para todo uin V.
Vamos usar duas propriedades fundamentais do produto interno:
  1. 0 é o elemento neutro para a soma em V, isto é, 0+0=0.
  2. lang<=cdot,cdotrang<= é linear no primeiro argumento, ou seja,
lang<= v+w,urang<= = lang<= v,urang<= + lang<= w,urang<=
para todos v,w,uin V.

Passo 2

Como 0 é elemento neutro da soma em V, vale
0 = 0 + 0

Passo 3

Aplicando a linearidade do produto interno no primeiro argumento com v=0 e w=0, obtemos
lang<= 0,urang<= = lang<= 0+0,,urang<= = lang<= 0,urang<= + lang<= 0,urang<=

Passo 4

Da igualdade
lang<= 0,urang<= = lang<= 0,urang<= + lang<= 0,urang<=
subtraímos lang<= 0,urang<= em ambos os lados (uso do inverso aditivo em K) e concluímos
0 = lang<= 0,urang<=

Resposta

lang<= 0,urang<= = 0, forall,uin V

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