Seja V um espaço vetorial sobre K com produto interno.
Mostre que se lang<= u, vrang<==0, para todo v in V, entao u=0.

Passo 1

O enunciado diz que em um espaço vetorial V com produto interno lang<=cdot,cdotrang<= existe um vetor uin V tal que
lang<= u,vrang<==0 para todo vin V.
Para resolver, vamos usar a propriedade de positividade definida do produto interno, que afirma:
lang<= x,xrang<=>=0elang<= x,xrang<==0iff x=0

Passo 2

Basta escolher v=u. Assim, pelas hipóteses,
lang<= u,urang<==0
Mas pela positividade definida do produto interno, isso implica que u é o vetor zero.

Resposta

u=0

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