queremos mostrar que ela é de classe mathscrC^infty em R. Isso envolve dois pontos: provar derivabilidade infinita em xneq0 (onde a função é dada por uma expressão explícita) e em x=0 (ponto crítico onde a fórmula muda). Para isso vamos usar limites e o fato de que e^-1/x^2 tende a zero mais rápido que qualquer potência de x.
Passo 2
Para xneq0, a função é composição de funções elementares suaves: primeiro xmapsto1/x^2, depois tmapsto -t e finalmente a exponencial. Como cada uma dessas é mathscrC^infty em seu domínio, composições e somas delas mantêm essa classe. Logo finmathscrC^infty(Rsetminus0).
Passo 3
Vamos checar a derivabilidade em x=0. Pela definição,
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h=limhto0e^-1/h^2h
Como e^-1/h^2 cai mais rápido que qualquer potência de h, esse quociente tende a zero. Logo f'(0)=0.
Passo 4
Para as derivadas de ordem maior, usamos indução. Suponha que para alguma n>=1 exista um polinômio Pn tal que, para xneq0,
f^(n)(x)=Pnl(1/xr)e^-1/x^2
Derivando mais uma vez, cada termo de Pn(1/x) gera um outro polinômio em 1/x multiplicado por e^-1/x^2, de modo que
f^(n+1)(x)=Pn+1l(1/xr)e^-1/x^2,
com Pn+1 também polinomial. Isso encerra a indução.
Passo 5
Como e^-1/x^2 anula o crescimento polinomial de Pn(1/x), temos
limxto0f^(n)(x)=0
para todo n. Isso mostra que cada derivada de ordem n se estende continuamente a x=0 com valor f^(n)(0)=0. Portanto todas as derivadas existem e são contínuas em 0.
Resposta
A função f pertence a mathscrC^infty(R), e de fato f^(n)(0)=0 para todo n.