Problema 1.5. Usando a propriedade de compatibilidade da adição com a ordem e a transitividade da ordem, mostre que:
Se a<b e c<d, então a+c<b+d ã
Vale a recíproca dessa propriedade?

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, usando compatibilidade da ordem com adição e transitividade, se a<b e c<d então a+c<b+d. Vamos usar:
– Compatibilidade da adição: se x<y então para qualquer z vale x+z<y+z.
– Transitividade da ordem: se x<y e y<w então x<w.

Passo 2

Da hipótese a<b, aplicando compatibilidade da adição ao somar c em ambos os lados, obtemos
a + c < b + c

Passo 3

Da hipótese c<d, aplicando compatibilidade da adição ao somar b em ambos os lados, obtemos
b + c < b + d

Passo 4

Como temos
a + c < b + c
e
b + c < b + d,
pela transitividade da ordem concluímos
a + c < b + d

Passo 5

A recíproca seria: “se a+c<b+d então a<b e c<d”. Isso não vale em geral, pois não dá para separar a soma. Um contraexemplo é
a=3, b=2, c=1, d=3
Aqui
a+c=4<5=b+d,
porém não ocorre a<b (pois 3not<2). Logo a recíproca é falsa.

Resposta

A implicação direta é verdadeira. A recíproca não vale em geral (por exemplo a=3, b=2, c=1, d=3).

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