Problema 1.5. Usando a propriedade de compatibilidade da adição com a ordem e a transitividade da ordem, mostre que:
Vale a recíproca dessa propriedade?
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que, usando compatibilidade da ordem com adição e transitividade, se
e
então
. Vamos usar:
– Compatibilidade da adição: se então para qualquer
vale
.
– Transitividade da ordem: se e
então
.
– Compatibilidade da adição: se
– Transitividade da ordem: se
Passo 2
Da hipótese
, aplicando compatibilidade da adição ao somar
em ambos os lados, obtemos
Passo 3
Da hipótese
, aplicando compatibilidade da adição ao somar
em ambos os lados, obtemos
Passo 4
Como temos
e
pela transitividade da ordem concluímos
Passo 5
A recíproca seria: “se
então
e
”. Isso não vale em geral, pois não dá para separar a soma. Um contraexemplo é
Aqui
porém não ocorre
(pois
). Logo a recíproca é falsa.
Resposta
A implicação direta é verdadeira. A recíproca não vale em geral (por exemplo
,
,
,
).