Mostre que lim x infty x^n e^-x=0 para todo n in N.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que limxtoinfty x^n e^-x = 0 para todo ninN. O conteúdo envolve limites de forma indefinida e a regra de L’Hôpital para resolver indeterminações do tipo infty/infty.

Passo 2

Reescrevemos a expressão como uma fração:
limxtoinfty x^n e^-x = limxtoinfty x^ne^x
Note que conforme xtoinfty, x^ntoinfty e e^xtoinfty, caracterizando a indeterminação infty/infty. Para resolver, aplicamos a regra de L’Hôpital, que afirma que sempre que lim f(x)/g(x) produz infty/infty ou 0/0, podemos substituir pela derivada do numerador e do denominador, isto é:
limxtoinfty f(x)g(x) = limxtoinfty f'(x)g'(x),
desde que esse limite exista ou seja pminfty.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador repetidamente. A cada aplicação de L’Hôpital, como ddx x^k = k x^k-1 e ddx e^x = e^x, após n aplicações obtemos:
limxtoinfty x^ne^x = limxtoinfty n(n-1)cdots1 ; x^0e^x = limxtoinfty n!e^x

Passo 4

Como e^xtoinfty quando xtoinfty, temos
limxtoinfty n!e^x = n! cdot limxtoinfty e^-x = n! cdot 0 = 0
Portanto, concluímos que limxtoinftyx^n e^-x=0.

Resposta

0

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