Mostre que
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
para todo
. O conteúdo envolve limites de forma indefinida e a regra de L’Hôpital para resolver indeterminações do tipo
.
Passo 2
Reescrevemos a expressão como uma fração:
Note que conforme
,
e
, caracterizando a indeterminação
. Para resolver, aplicamos a regra de L’Hôpital, que afirma que sempre que
produz
ou
, podemos substituir pela derivada do numerador e do denominador, isto é:
desde que esse limite exista ou seja
.
Passo 3
Derivamos numerador e denominador repetidamente. A cada aplicação de L’Hôpital, como
e
, após
aplicações obtemos:
Passo 4
Como
quando
, temos
Portanto, concluímos que
.
Resposta
0