3.3 Mostre que a função
não é diferenciável em 4. Encontre uma fórmula para
e esboce seu gráfico.
Passo 1
A questão pede para mostrar que a função
não é diferenciável em
e, em seguida, encontrar uma fórmula para
e esboçar seu gráfico. O assunto é diferenciabilidade e derivada de função valor absoluto; vamos usar a definição de valor absoluto em duas partes e o conceito de derivada lateral.
Passo 2
Primeiro reconhecemos que
pode ser escrito como uma função por partes:
se
e
se
. Aqui
, então temos uma expressão diferente para
dependendo de
.
Passo 3
Para
, temos
, logo
Passo 4
Para
, temos
, logo
Passo 5
Agora calculamos as derivadas de cada ramo. Como
e
são funções lineares, suas derivadas são constantes:
Logo a derivada lateral à direita de
em
é
e a derivada lateral à esquerda é
. Como elas são diferentes,
não é diferenciável em
.
Passo 6
Reunindo em uma expressão por partes, obtemos a fórmula de
:
O gráfico de
é uma linha constante igual a
para
e igual a
para
, com uma descontinuidade (salto) no ponto
, mostrando que não há derivada nesse ponto.
Resposta
A derivada de
é dada por:
Em
não existe derivada, pois as derivadas laterais são
e
, diferentes.