3.3 Mostre que a função f(x)=|2 x-8| não é diferenciável em 4. Encontre uma fórmula para f^prime e esboce seu gráfico.

Passo 1

A questão pede para mostrar que a função f(x)=|2x-8| não é diferenciável em x=4 e, em seguida, encontrar uma fórmula para f' e esboçar seu gráfico. O assunto é diferenciabilidade e derivada de função valor absoluto; vamos usar a definição de valor absoluto em duas partes e o conceito de derivada lateral.

Passo 2

Primeiro reconhecemos que |u| pode ser escrito como uma função por partes: |u|=u se u>=0 e |u|=-u se u<0. Aqui u=2x-8, então temos uma expressão diferente para f(x) dependendo de x.

Passo 3

Para x>=4, temos 2x-8>=0, logo
f(x)=|2x-8|=2x-8

Passo 4

Para x<4, temos 2x-8<0, logo
f(x)=|2x-8|=-(2x-8)=8-2x

Passo 5

Agora calculamos as derivadas de cada ramo. Como 2x-8 e 8-2x são funções lineares, suas derivadas são constantes:
ddx(2x-8)=2,
ddx(8-2x)=-2
Logo a derivada lateral à direita de f em x=4 é 2 e a derivada lateral à esquerda é -2. Como elas são diferentes, f não é diferenciável em x=4.

Passo 6

Reunindo em uma expressão por partes, obtemos a fórmula de f':
f'(x)= -2,&x<4, 2,&x>4
O gráfico de f' é uma linha constante igual a -2 para x<4 e igual a 2 para x>4, com uma descontinuidade (salto) no ponto x=4, mostrando que não há derivada nesse ponto.

Resposta

A derivada de f é dada por:
f'(x)= -2,&x<4, 2,&x>4
Em x=4 não existe derivada, pois as derivadas laterais são -2 e 2, diferentes.

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