Use as regras de derivação para calcular a derivada de
f(z)=\left(z^{3}-5 i z^{2}+4 z\right)^{9}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(z)=\bigl(z^{3}-5i\,z^{2}+4z\bigr)^{9}.
Aqui temos uma composição de funções: uma função interior \,g(z)=z^{3}-5i\,z^{2}+4z
e uma função exterior \,h(u)=u^{9}.
Para derivar \,f(z)=h\bigl(g(z)\bigr) usaremos a regra da cadeia, que estabelece:
\frac{d}{dz}h\bigl(g(z)\bigr)=h'\bigl(g(z)\bigr)\,\cdot\,g'(z).

Passo 2

Derivamos a função interior \,g(z)=z^{3}-5i\,z^{2}+4z. Derivando termo a termo:
g'(z)=3z^{2}-10i\,z+4.

Passo 3

Derivamos a função exterior \,h(u)=u^{9}. A sua derivada em relação a u é
h'(u)=9\,u^{8}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
f'(z)=h'\bigl(g(z)\bigr)\,\cdot\,g'(z) =9\,\bigl(g(z)\bigr)^{8}\,\bigl(3z^{2}-10i\,z+4\bigr).
Substituindo g(z)=z^{3}-5i\,z^{2}+4z, temos:
f'(z)=9\,\bigl(z^{3}-5i\,z^{2}+4z\bigr)^{8}\,(3z^{2}-10i\,z+4).

Resposta

f'(z)=9\,(z^{3}-5i\,z^{2}+4z)^{8}\,(3z^{2}-10i\,z+4).

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