Resolva a equação diferencial.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial
Informações dadas:
Pergunta implícita: encontrar a família de soluções
(a solução geral), e comentar sobre constantes e domínio quando necessário.
Passo 2
Identificamos que a equação permite separar as variáveis
e
: a derivada
aparece como uma função de
multiplicada por uma função de
(no caso
vezes
). A técnica de separação de variáveis consiste em rearranjar a equação para ter todos os termos com
e
de um lado e todos os termos com
e
do outro, e então integrar ambos os lados. A ideia por trás disso é a definição de derivada como taxa de variação e a propriedade de integrais inversas de derivadas.
Regra de integração que vamos usar (regra do “expoente”):
Aqui
, então a fórmula vale.
Passo 3
Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por
e por
:
Agora cada lado depende só de uma variável, pronto para integrar.
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Aplicando a regra do expoente ao lado esquerdo com
e a integral de potência ao lado direito:
onde
é a constante de integração (apareceu apenas de um lado; isto é suficiente pois somas de constantes podem ser combinadas).
Explicando cada termo:
vem de elevar
a
e dividir por
;
vem de integrar
(pois
).
Passo 5
Isolamos
. Multiplicando por
e renomeando a constante:
onde
é outra constante arbitrária real. Para obter
explicitamente tomamos a quinta raiz:
Aqui a raiz de ordem
é bem definida para quaisquer números reais no radicando: raízes ímpares de números reais dão um real único (podendo ser negativo se o radicando for negativo). Portanto a constante
pode ser qualquer número real.
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação implícita: partindo de
, derivando ambos os lados em relação a
,
Dividindo por
(assumindo
no ponto considerado),
o que confirma que a expressão obtida é solução da equação original onde
.
Observação sobre domínio e excepcionalidades: a equação diferencial original não está definida quando
(pois haveria divisão por zero). Assim a solução obtida vale em intervalos onde
. Se algum valor de
fizer
, então
nesse ponto e a solução não é válida naquele ponto para a equação original — nesse caso a solução é válida em cada intervalo maximal onde
não anula. Não existe solução constante
para a equação (não satisfaz a igualdade para
).
Passo 7
Exemplo concreto: escolhendo
obtemos
que é uma solução definida para todo
, não negativa, e consistente com a verificação por diferenciação (em
é contínua, mas note que
e a equação original tem problema em pontos onde
). Em geral a constante
permite ajustar o sinal e deslocamento.
Resposta
com
, válida em intervalos onde
.