Resolva a equação diferencial.
(b) \frac{d y}{d x}=\frac{x}{y^{4}}

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y^{4}}.
Informações dadas:
\text{equação: }\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y^{4}}.çã
Pergunta implícita: encontrar a família de soluções y(x) (a solução geral), e comentar sobre constantes e domínio quando necessário.

Passo 2

Identificamos que a equação permite separar as variáveis x e y: a derivada dy/dx aparece como uma função de x multiplicada por uma função de y (no caso x vezes 1/y^4). A técnica de separação de variáveis consiste em rearranjar a equação para ter todos os termos com y e dy de um lado e todos os termos com x e dx do outro, e então integrar ambos os lados. A ideia por trás disso é a definição de derivada como taxa de variação e a propriedade de integrais inversas de derivadas.
Regra de integração que vamos usar (regra do “expoente”):
\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{quando }n\neq -1.
Aqui n=4, então a fórmula vale.

Passo 3

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por y^{4} e por dx:
y^{4}\,dy = x\,dx.
Agora cada lado depende só de uma variável, pronto para integrar.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int y^{4}\,dy = \int x\,dx.
Aplicando a regra do expoente ao lado esquerdo com n=4 e a integral de potência ao lado direito:
\frac{y^{5}}{5} = \frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é a constante de integração (apareceu apenas de um lado; isto é suficiente pois somas de constantes podem ser combinadas).
Explicando cada termo: \frac{y^{5}}{5} vem de elevar y^{4} a y^{5} e dividir por 5; \frac{x^{2}}{2} vem de integrar x (pois \int x\,dx = x^{2}/2).

Passo 5

Isolamos y. Multiplicando por 5 e renomeando a constante:
y^{5} = \frac{5}{2}x^{2} + C_{1},
onde C_{1}=5C é outra constante arbitrária real. Para obter y explicitamente tomamos a quinta raiz:
y(x)=\left(\frac{5}{2}x^{2}+C_{1}\right)^{1/5}.
Aqui a raiz de ordem 5 é bem definida para quaisquer números reais no radicando: raízes ímpares de números reais dão um real único (podendo ser negativo se o radicando for negativo). Portanto a constante C_{1} pode ser qualquer número real.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação implícita: partindo de y^{5}=(5/2)x^{2}+C_{1}, derivando ambos os lados em relação a x,
5y^{4}\frac{dy}{dx}=5x.
Dividindo por 5y^{4} (assumindo y\neq 0 no ponto considerado),
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y^{4}},
o que confirma que a expressão obtida é solução da equação original onde y\neq 0.
Observação sobre domínio e excepcionalidades: a equação diferencial original não está definida quando y=0 (pois haveria divisão por zero). Assim a solução obtida vale em intervalos onde y(x)\neq 0. Se algum valor de x fizer \frac{5}{2}x^{2}+C_{1}=0, então y=0 nesse ponto e a solução não é válida naquele ponto para a equação original — nesse caso a solução é válida em cada intervalo maximal onde y não anula. Não existe solução constante y\equiv 0 para a equação (não satisfaz a igualdade para x\neq 0).

Passo 7

Exemplo concreto: escolhendo C_{1}=0 obtemos
y(x)=\left(\frac{5}{2}x^{2}\right)^{1/5}=\left(\frac{5}{2}\right)^{1/5}|x|^{2/5},
que é uma solução definida para todo x, não negativa, e consistente com a verificação por diferenciação (em x=0 é contínua, mas note que y(0)=0 e a equação original tem problema em pontos onde y=0). Em geral a constante C_{1} permite ajustar o sinal e deslocamento.

Resposta

y(x)=\left(\frac{5}{2}x^{2}+C\right)^{1/5},
com C\in\mathbb{R}, válida em intervalos onde y(x)\neq 0.

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