Mostre que a função fornecida é uma solução do problema de valor inicial:
y=-t \cos t-t ; \quad t \frac{d y}{d t}=y+t^{2} \operatorname{sen} t, \quad y(\pi)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a função candidata e o problema de valor inicial. Precisamos mostrar que essa função satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição inicial. As informações são:
y(t) = -t\cos t - t,
t\frac{dy}{dt} = y + t^{2}\sin t,
y(\pi)=0.

Passo 2

Estratégia para verificar se uma função é solução: substituímos a função proposta na equação diferencial e verificamos se a igualdade fica verdadeira; em seguida verificamos a condição inicial. Para isso precisamos calcular \frac{dy}{dt}. Usaremos a regra do produto para derivar termos do tipo u(t)v(t). A regra do produto diz:
(uv)' = u'v + uv',
onde u'(t) é a derivada de u(t) em relação a t e v'(t) é a derivada de v(t).

Passo 3

Aplicando a regra do produto ao termo -t\cos t. Tome u(t) = -t e v(t)=\cos t. Então u'(t) = -1 e v'(t) = -\sin t. Pela regra do produto:
\frac{d}{dt}\bigl(-t\cos t\bigr) = u'v + uv' = (-1)\cos t + (-t)(-\sin t).
Simplificando:
\frac{d}{dt}\bigl(-t\cos t\bigr) = -\cos t + t\sin t.
Agora derivamos o termo -t: \dfrac{d}{dt}(-t) = -1. Portanto, somando,
\frac{dy}{dt} = -\cos t + t\sin t - 1.

Passo 4

Multiplicamos por t para obter o membro esquerdo da equação diferencial:
t\frac{dy}{dt} = t\bigl(-\cos t + t\sin t - 1\bigr).
Distribuindo t:
t\frac{dy}{dt} = -t\cos t + t^{2}\sin t - t.

Passo 5

Agora calculamos o membro direito da equação diferencial, que é y + t^{2}\sin t. Usando a expressão de y dada:
y + t^{2}\sin t = \bigl(-t\cos t - t\bigr) + t^{2}\sin t.
Rearranjando os termos:
y + t^{2}\sin t = -t\cos t - t + t^{2}\sin t.
Compare com o resultado do passo anterior:
t\frac{dy}{dt} = -t\cos t + t^{2}\sin t - t.
As duas expressões são idênticas, logo a equação diferencial é satisfeita para todo t.

Passo 6

Verificamos a condição inicial \,y(\pi)=0. Substituindo t=\pi na fórmula de y:
y(\pi) = -\pi\cos\pi - \pi.
Como \cos\pi = -1, segue
y(\pi) = -\pi(-1) - \pi = \pi - \pi = 0.
Portanto a condição inicial também é satisfeita.

Resposta

y(t)=-t\cos t - t é solução do problema de valor inicial.

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