Mostre que a função fornecida é uma solução do problema de valor inicial:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função candidata e o problema de valor inicial. Precisamos mostrar que essa função satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição inicial. As informações são:
Passo 2
Estratégia para verificar se uma função é solução: substituímos a função proposta na equação diferencial e verificamos se a igualdade fica verdadeira; em seguida verificamos a condição inicial. Para isso precisamos calcular
. Usaremos a regra do produto para derivar termos do tipo
. A regra do produto diz:
onde
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto ao termo
. Tome
e
. Então
e
. Pela regra do produto:
Simplificando:
Agora derivamos o termo
:
. Portanto, somando,
Passo 4
Multiplicamos por
para obter o membro esquerdo da equação diferencial:
Distribuindo
:
Passo 5
Agora calculamos o membro direito da equação diferencial, que é
. Usando a expressão de
dada:
Rearranjando os termos:
Compare com o resultado do passo anterior:
As duas expressões são idênticas, logo a equação diferencial é satisfeita para todo
.
Passo 6
Verificamos a condição inicial
. Substituindo
na fórmula de
:
Como
, segue
Portanto a condição inicial também é satisfeita.