Vamos analisar o exercício que nos pede para mostrar que a função
f(x)= x^2 cos 1x, & se x neq 0 0, & se x = 0
é contínua em todo o domínio real(-infty, +infty). Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites e a definição de continuidade. Precisamos verificar a continuidade da função em todos os pontos, especialmente no ponto onde a definição da função muda, que é em x = 0.
Passo 2
Entendendo a Continuidade:
Uma função f(x) é contínua em um ponto a se:
f(a) está definida.
O limite de f(x) quando x se aproxima de a existe.
O limite de f(x) quando x se aproxima de a é igual a f(a).
No nosso caso, a função está definida para todos os reais, mas a atenção especial é em x = 0.
Passo 3
Verificando a Continuidade para x neq 0:
Para x neq 0, a função f(x) = x^2 cos 1x é composta por funções contínuas:
x^2 é um polinômio, contínuo em todos os reais.
cos 1x é contínuo onde x neq 0.
Como a composição de funções contínuas é contínua, f(x) é contínua para todo x neq 0.
Passo 4
Verificando a Continuidade em x = 0:
Precisamos mostrar que:
limx to 0 f(x) = f(0)
Sabemos que f(0) = 0. Então, precisamos calcular limx to 0 x^2 cos 1x.
Passo 5
Calculando o Limite limx to 0 x^2 cos 1x:
Sabemos que o cosseno está sempre entre -1 e 1:
-1 <= cos 1x <= 1
Multiplicando todos os lados por x^2 (que é positivo):
- x^2 <= x^2 cos 1x <= x^2
Passo 6
Aplicando o Teorema do Confronto (Sanduíche):
Como -x^2 <= x^2 cos 1x <= x^2 e sabemos que:
limx to 0 -x^2 = 0 e limx to 0 x^2 = 0
Então, pelo Teorema do Confronto:
limx to 0 x^2 cos 1x = 0
Resposta
Portanto, limx to 0 f(x) = f(0) = 0, o que confirma que a função f(x) é contínua em todo o domínio real (-infty, +infty).