Mostre que a função
& f(x)= x^2 cos 1x, & x neq 0 0, & x=0 & (contínua em (-infty,+infty) í

Passo 1

Vamos analisar o exercício que nos pede para mostrar que a função
f(x)= x^2 cos 1x, & se x neq 0 0, & se x = 0
é contínua em todo o domínio real (-infty, +infty). Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites e a definição de continuidade. Precisamos verificar a continuidade da função em todos os pontos, especialmente no ponto onde a definição da função muda, que é em x = 0.

Passo 2

Entendendo a Continuidade:
Uma função f(x) é contínua em um ponto a se:
  1. f(a) está definida.
  2. O limite de f(x) quando x se aproxima de a existe.
  3. O limite de f(x) quando x se aproxima de a é igual a f(a).
No nosso caso, a função está definida para todos os reais, mas a atenção especial é em x = 0.

Passo 3

Verificando a Continuidade para x neq 0:
Para x neq 0, a função f(x) = x^2 cos 1x é composta por funções contínuas:
  • x^2 é um polinômio, contínuo em todos os reais.
  • cos 1x é contínuo onde x neq 0.
Como a composição de funções contínuas é contínua, f(x) é contínua para todo x neq 0.

Passo 4

Verificando a Continuidade em x = 0:
Precisamos mostrar que:
limx to 0 f(x) = f(0)
Sabemos que f(0) = 0. Então, precisamos calcular limx to 0 x^2 cos 1x.

Passo 5

Calculando o Limite limx to 0 x^2 cos 1x:
Sabemos que o cosseno está sempre entre -1 e 1:
-1 <= cos 1x <= 1
Multiplicando todos os lados por x^2 (que é positivo):
- x^2 <= x^2 cos 1x <= x^2

Passo 6

Aplicando o Teorema do Confronto (Sanduíche):
Como -x^2 <= x^2 cos 1x <= x^2 e sabemos que:
limx to 0 -x^2 = 0 e limx to 0 x^2 = 0
Então, pelo Teorema do Confronto:
limx to 0 x^2 cos 1x = 0

Resposta

Portanto, limx to 0 f(x) = f(0) = 0, o que confirma que a função f(x) é contínua em todo o domínio real (-infty, +infty).

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