Questão 18. Se um corpo à temperatura inicial de 50^circ C é colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente é de 100^circ C e se após 5 minutos a temperatura do corpo é 60^circ C, determine a temperatura do corpo após 20 minutos. (Resp. T=79,5^circ C )

Passo 1

O enunciado diz que um corpo com temperatura inicial de 50^circC é colocado em ambiente de 100^circC e, pela lei de Newton do resfriamento/aquecimento, sua temperatura T(t) satisfaz uma equação diferencial de primeira ordem. Precisamos usar a solução geral dessa equação, determinar a constante de tempo k a partir do dado de 5 minutos e, em seguida, calcular T(20).

Passo 2

Pela lei de Newton temos
dTdt = kl(Tamb - Tr)
com Tamb = 100^circC. A solução geral é
T(t)=Tamb + l(T(0)-Tambr)e^-k t
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T(t)=100 + (50 - 100)e^-k t = 100 - 50,e^-k t

Passo 3

Usamos o dado de t=5 min, quando T(5)=60^circC:
60 = 100 - 50,e^-5k
Rearranjando:
50,e^-5k = 40
e^-5k = tfrac4050 = tfrac45
-5k = ln!l(tfrac45r) Longrightarrow k = -tfrac15ln!l(tfrac45r)

Passo 4

Para t=20 min, usamos
T(20)=100 - 50,e^-20k
Mas e^-20k = l(e^-5kr)^4 = l(tfrac45r)^4 = tfrac256625 Então
T(20)=100 - 50cdottfrac256625 =100 - tfrac12800625 =100 - 20,48 =79,52^circC

Resposta

A temperatura do corpo após 20 minutos é aproximadamente 79,5^circC.

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