Questão 19. Uma partícula de massa
desloca-se num plano, impulsionada por uma forcça variável com o tempo, de acordo com a lei de formação
Newtons. Sobre a partícula atua ainda uma força de atrito de valor
Newton, sendo
expresso
e de sentido contrário à velocidade. Sabendo-se que quando
, a partícula encontra-se na origem e está parada, determine a velocidade da partícula num tempo
qualquer e o espaço percorrido no mesmo tempo. (Resp.
Passo 1
O enunciado dá uma partícula de massa
kg sujeita a duas forças:
- Força externa variável
N. - Força de atrito proporcional à velocidade,
N, de sentido oposto a .
Quando, temos e .
Precisamos encontrar a velocidadee o espaço percorrido para .
O conteúdo aqui é equação diferencial linear de primeira ordem e integração para obter a posição.
Passo 2
A equação do movimento é, pela segunda lei de Newton,
dividindo por 10,
É uma EDO linear do tipo
com
. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
,
Integramos em
:
Para calcular
usamos integração por partes ou fórmula conhecida e obtemos
Logo,
Aplicando a condição inicial
:
Portanto,
Passo 3
Para obter
, integramos
num tempo genérico
e forçamos
:
Calculando cada termo:
Logo, até uma constante
,
Como
e
dá
. Assim,