Questão 19. Uma partícula de massa m=10 kg desloca-se num plano, impulsionada por uma forcça variável com o tempo, de acordo com a lei de formação F(t)=100 sin (t) Newtons. Sobre a partícula atua ainda uma força de atrito de valor Fa=10 v Newton, sendo v expresso em m / s e de sentido contrário à velocidade. Sabendo-se que quando t=0, a partícula encontra-se na origem e está parada, determine a velocidade da partícula num tempo t qualquer e o espaço percorrido no mesmo tempo. (Resp. v(t)=e^-t[5 e^t(sin t-cos t+5)] m / s e x(t)=[10+5(-e^-t-cos t-sin t)] m)

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa m=10 kg sujeita a duas forças:
  1. Força externa variável F(t)=100sin t N.
  2. Força de atrito proporcional à velocidade, Fa=10v N, de sentido oposto a v.
    Quando t=0, temos v(0)=0 e x(0)=0.
    Precisamos encontrar a velocidade v(t) e o espaço x(t) percorrido para t>=0.
    O conteúdo aqui é equação diferencial linear de primeira ordem e integração para obter a posição.

Passo 2

A equação do movimento é, pela segunda lei de Newton,
mdvdt=F(t)-Fa Longrightarrow 10dvdt=100sin t-10v
dividindo por 10,
dvdt+v=10sin t
É uma EDO linear do tipo dvdt+P(t)v=Q(t) com P=1. O fator integrante é
mu(t)=e^integral P,dt=e^t
Multiplicando a equação por e^t,
ddtl(v,e^tr)=10e^tsin t
Integramos em t:
v,e^t =10integral e^tsin t,dt+C
Para calcular integral e^tsin t,dt usamos integração por partes ou fórmula conhecida e obtemos
integral e^tsin t,dt =tfrac12,e^t(sin t-cos t)
Logo,
v,e^t =10cdottfrac12,e^t(sin t-cos t)+C =5e^t(sin t-cos t)+C
Aplicando a condição inicial v(0)=0:
0=5cdot1,(0-1)+CLongrightarrow C=5
Portanto,
v(t) =e^-tl(5e^t(sin t-cos t)+5r) =5(sin t-cos t)+5e^-t

Passo 3

Para obter x(t), integramos v(t) num tempo genérico t e forçamos x(0)=0:
x(t)=integral0^tv(s),ds =integral0^tl[5sin s-5cos s+5e^-sr]ds
Calculando cada termo:
integral 5sin s,ds=-5cos s, integral(-5cos s),ds=-5sin s, integral5e^-s,ds=-5e^-s
Logo, até uma constante K,
x(t)=-5cos t-5sin t-5e^-t+K
Como x(0)=0 e -5cdot1-5cdot0-5cdot1+K=0 K=10. Assim,
x(t)=10-5l(cos t+sin t+e^-tr)

Resposta

v(t)=5(sin t-cos t)+5e^-tm/s,
x(t)=10-5l(cos t+sin t+e^-tr)m

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