Usando Regra da Cadeia, determine a derivada f^prime(x) onde f(x) é igual a:
c) raiz[3]x-1x+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=raiz[3]x-1x+1
usando a regra da cadeia. Para isso, vamos reescrever a função como potência e aplicar a composição de derivadas: a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Definimos
u(x)=x-1x+1,
de modo que
f(x)=l(u(x)r)^tfrac13
Assim, ao aplicar a regra da cadeia, teremos
f'(x)=13l(u(x)r)^-tfrac23;u'(x)

Passo 3

Agora calculamos u'(x) usando a regra do quociente:
u'(x)=(x+1)cdot1-(x-1)cdot1(x+1)^2 =x+1-x+1(x+1)^2 =2(x+1)^2

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) =13gl(x-1x+1gr)^-tfrac23 cdot2(x+1)^2 =23,(x+1)^2;gl(x-1x+1gr)^-tfrac23

Passo 5

Para simplificar, note que
gl(x-1x+1gr)^-tfrac23 =gl(x+1x-1gr)^tfrac23
e então
f'(x) =23,(x+1)^2 ;(x+1)^tfrac23(x-1)^tfrac23 =23,(x+1)^2-tfrac23,(x-1)^tfrac23 =23,(x+1)^tfrac43,(x-1)^tfrac23

Resposta

f'(x)=23,(x+1)^tfrac43,(x-1)^tfrac23

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