Mostre que a função f(x)=llx-1, & se x<3, 5-x, & se x >= 3, é contínua em R.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= x-1, & x<3, 5-x, & x>=3
Queremos mostrar que f é contínua em todo R. Para isso, usamos que funções polinomiais são contínuas em todo R e só resta verificar o ponto de transição x=3.

Passo 2

Para qualquer a<3, vale f(x)=x-1. Como x-1 é polinomial, ele é contínuo em R. Logo, para a<3,
limxto af(x) =limxto a(x-1) =a-1 =f(a)

Passo 3

Para qualquer b>3, vale f(x)=5-x. Também sendo polinomial, é contínuo em R. Logo, para b>3,
limxto bf(x) =limxto b(5-x) =5-b =f(b)

Passo 4

Verificamos agora x=3. Primeiro, o valor da função:
f(3)=5-3=2
Os limites laterais são
limxto3^-f(x) =limxto3^-(x-1) =3-1=2,
limxto3^+f(x) =limxto3^+(5-x) =5-3=2
Como ambos os limites laterais valem 2 e coincidem com f(3), f é contínua em x=3.

Resposta

A função f é contínua em todo R.

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