Resolva as equações de EULER.
t y^prime prime+y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler (Cauchy–Euler)
t,y'' + y' = 0
que é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes dependentes de t. Para isso, vamos usar a substituição
p = y'
e transformar em uma equação de primeira ordem.

Passo 2

Com p = y' temos y'' = p'. Substituindo na equação original,
t,y'' + y' = 0 Longrightarrow t,p' + p = 0

Passo 3

Reescrevendo, obtemos uma equação linear de primeira ordem em p:
p' + 1t,p = 0
Para resolvê-la, calculamos o fator integrante
mu(t) = exp!l(integral 1t,dtr) = t

Passo 4

Multiplicando a equação por mu(t)=t vem
t,p' + p = (t,p)' = 0
e, ao integrar,
t,p = C1 Longrightarrow p = C1t

Passo 5

Voltando a y', temos
y' = C1t
Integramos em relação a t:
y(t) = C1integral 1t,dt + C2 = C1ln t + C2

Resposta

y(t) = C1ln t + C2, C1,C2inR

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