Resolva as equações de EULER.
t^2 y^prime prime+t y^prime+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler
t^2y''+t,y'+4y=0
Esse tipo de equação usa a suposição de solução da forma y=t^r. Vamos aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Assumimos
y(t)=t^r
Então
y'(t)=r,t^r-1,
y''(t)=r(r-1),t^r-2

Passo 3

Substituindo em t^2y''+t,y'+4y=0, obtemos
t^2l[r(r-1)t^r-2r]+tl[r,t^r-1r]+4,t^r=0
o que simplifica para a equação característica
r(r-1)+r+4=0

Passo 4

Achar r na equação
r^2+4=0
dá raízes complexas
r=pm 2i

Passo 5

Para raízes conjugadas r=alphapmbeta i com alpha=0 e beta=2, a solução geral é
y(t)=t^alphal(C1cos(betaln t)+C2sin(betaln t)r)
Como alpha=0, fica
y(t)=C1cosl(2ln tr)+C2sinl(2ln tr)

Resposta

y(t)=C1cosl(2ln tr)+C2sinl(2ln tr)

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