Resolva as equações de EULER.
t^2 y^prime prime+5 t y^prime+3 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Euler
t^2y'' + 5t,y' + 3y = 0
que é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis do tipo Cauchy–Euler. Para resolver, vamos usar a substituição típica
y = t^m,
onde m é um número a determinar.

Passo 2

Com y = t^m, calculamos as derivadas:
y' = m,t^m-1,
y'' = m(m-1),t^m-2
Substituindo na equação original, obtemos
t^2l[m(m-1),t^m-2r] ;+;5tl[m,t^m-1r];+;3,t^m = 0

Passo 3

Fatorando t^m (que não é zero para tneq0), sobra a equação algébrica
m(m-1) + 5m + 3 = 0
ou seja
m^2 - m + 5m + 3 = 0 Longrightarrow m^2 + 4m + 3 = 0
Resolvendo essa equação do segundo grau, temos
m = -4 pm raiz4^2 - 4cdot1cdot32 = -4 pm raiz16 - 122 = -4 pm 22,
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m1 = -1, m2 = -3

Passo 4

Como as raízes m1 e m2 são reais e distintas, a solução geral da equação de Euler é
y(t) = C1,t^m1 + C2,t^m2 = C1,t^-1 + C2,t^-3,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t) = C1,t^-1 + C2,t^-3

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