5) (2 pontos)

Uma bola é lançada com velocidade 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} numa direção que faz um ângulo de 60^{\circ} com a horizontal. A bola, em sua trajetória, choca-se contra um muro vertical, situado a 30 m do ponto de lançamento.
Desprezando a resistência do ar, determine:
a) o instante em que a bola atinge o muro;
b) a altura do ponto do muro atingido pela bola.

Passo 1

O enunciado trata de um movimento de projétil (bola lançada) com velocidade inicial de 20,m/s num ângulo de 60^\circ acima da horizontal, sem resistência do ar, e há um muro vertical a 30,m do ponto de lançamento. Precisamos aplicar as fórmulas de movimento uniformemente variado na direção vertical e movimento uniforme na direção horizontal para achar:
a) o instante t em que a bola chega ao muro ( x=30,m)
b) a altura y correspondente a esse t.

Passo 2

Primeiro, decompomos a velocidade inicial \mathbf{v}_0 em componentes horizontal e vertical:
v_{0x} = v_0 \cos(60^\circ),\quad v_{0y} = v_0 \sin(60^\circ).
Substituindo v_0=20,m/s e \cos(60^\circ)=0,5, \sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}, obtém-se
v_{0x} = 20 \times 0{,}5 = 10\\ \text{m/s}, \quad v_{0y} = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\\ \text{m/s}.

Passo 3

Na direção horizontal não há aceleração, logo
x(t) = v_{0x}\,t.
Queremos x(t)=30,m, então
t = \frac{30}{v_{0x}} = \frac{30}{10} = 3\\ \text{s}.

Passo 4

Na direção vertical a aceleração é a_y = -g com g=9{,}8,m/ s^{2}, e a altura é dada por
y(t) = v_{0y}\,t - \tfrac12\,g\,t^2.
Para t=3,s,
y(3) = 10\sqrt{3}\times 3 - \tfrac12\cdot 9{,}8 \times 3^2 = 30\sqrt{3} - 4{,}9 \times 9 = 30\sqrt{3} - 44{,}1 \approx 51{,}96 - 44{,}1 \approx 7{,}86\\ \text{m}.

Resposta

a) 3,s
b) 7{,}86,m (aproximadamente)

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