Quais das seguintes integrais são impróprias? Por quê?
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais integrais são impróprias; aqui temos apenas
. O conteúdo é definição de integral imprópria e vamos precisar verificar continuidade e singularidades da integranda no intervalo.
Passo 2
Uma integral é imprópria se ou os limites de integração são infinitos ou a função integranda é descontínua (ou tende a infinito) em algum ponto do intervalo fechado de integração.
Passo 3
Repare que
fica descontínua sempre que . No intervalo
isso ocorre em
, onde
.
fica descontínua sempre que
Passo 4
Logo,
é imprópria devido à descontinuidade (assimptota vertical) em
. Para defini-la, dividimos em
e interpretamos cada parte como limite.
Resposta
A integral
é imprópria porque
tem descontinuidade (vertical) em
, um ponto interior ao intervalo de integração.