Quais das seguintes integrais são impróprias? Por quê?
integral0^pi tg x d x

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais integrais são impróprias; aqui temos apenas
integral0^pitan x,dx. O conteúdo é definição de integral imprópria e vamos precisar verificar continuidade e singularidades da integranda no intervalo.

Passo 2

Uma integral é imprópria se ou os limites de integração são infinitos ou a função integranda é descontínua (ou tende a infinito) em algum ponto do intervalo fechado de integração.

Passo 3

Repare que
tan x = sin xcos x
fica descontínua sempre que cos x=0. No intervalo [0,pi] isso ocorre em x=tfracpi2, onde tan xtopminfty.

Passo 4

Logo, integral0^pitan x,dx é imprópria devido à descontinuidade (assimptota vertical) em x=tfracpi2. Para defini-la, dividimos em
integral0^pi/2tan x,dx e integralpi/2^pitan x,dx
e interpretamos cada parte como limite.

Resposta

A integral integral0^pitan x,dx é imprópria porque tan x tem descontinuidade (vertical) em x=tfracpi2, um ponto interior ao intervalo de integração.

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