Quatro bastões carregados formam um quadrado no plano horizontal ( x y ). Cada bastão tem um comprimento L igual a 25 cm e cada um contém uma carga positiva Q uniformemente distribuida. Uma pequena esfera, que pode ser considerada como uma carga pontual de massa igual a 3,46 \times 10^{-4} \mathrm{~g} e carga \mathrm{q}= +2,45 \times 10^{-12} \mathrm{C}, está em equilibrio a uma distância \mathrm{z}=21,4 \mathrm{~cm} acima do centro do quadrado. Encontre o valor de Q.

Passo 1

O enunciado descreve quatro bastões iguais, com carga total Q uniformemente distribuída ao longo de cada um, formando os quatro lados de um quadrado de lado L=0,25\\ \mathrm{m} no plano xy. Uma esfera de massa m=3,46\times10^{-7}\\ \mathrm{kg} e carga q=2,45\times10^{-12}\\ \mathrm{C} está em equilíbrio estático a uma altura z=0,214\\ \mathrm{m} acima do centro do quadrado. O conteúdo é campo elétrico de linha carregada e equilíbrio de forças. Vamos precisar calcular o campo elétrico vertical total E_z gerado pelas quatro barras no ponto acima do centro e usar qE_z=mg.

Passo 2

Denotemos a densidade linear de carga de cada bastão por
\lambda = \frac{Q}{L}.
Para um elemento de carga dq=\lambda\,dx situado num bastão no plano z=0, a uma distância r=\sqrt{x^2+d^2+z^2} do ponto P=(0,0,z), o elemento de campo é
d\mathbf{E} = k\,\frac{dq}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}} \quad\Longrightarrow\quad dE_z = k\,\frac{\lambda\,dx}{r^2}\,\frac{z}{r} = k\,\lambda\,\frac{z\,dx}{\bigl(x^2+d^2+z^2\bigr)^{3/2}},
onde d é a distância fixa do bastão ao eixo z (no nosso caso d=L/2).

Passo 3

Para um bastão paralelo ao eixo x, estendido de x=-L/2 a x=+L/2 e situado em y=d, temos d=L/2. O campo vertical gerado por esse bastão é
E_{z,1} = \int_{-L/2}^{L/2} k\,\lambda\,\frac{z\,dx}{\bigl(x^2+(L/2)^2+z^2\bigr)^{3/2}} = k\,\lambda\,z\;\frac{L}{\bigl((L/2)^2+z^2\bigr)\,\sqrt{(L/2)^2+z^2+(L/2)^2}}.
Simplificando, note que (L/2)^2+z^2=R^2 e (L/2)^2+R^2=L^2/2+z^2, logo
E_{z,1} = k\,\frac{Q}{L}\;z\;\frac{L}{\bigl((L/2)^2+z^2\bigr)\sqrt{L^2/2+z^2}} = k\,Q\,\frac{z}{\bigl(\tfrac{L^2}{4}+z^2\bigr)\,\sqrt{\tfrac{L^2}{2}+z^2}}.

Passo 4

Como há quatro bastões simetricamente dispostos, todos contribuem com o mesmo E_{z,1} para cima. Assim,
E_z = 4\,E_{z,1} = 4k\,Q\,\frac{z}{\bigl(\tfrac{L^2}{4}+z^2\bigr)\,\sqrt{\tfrac{L^2}{2}+z^2}}.

Passo 5

Em equilíbrio vertical, a força elétrica qE_z equilibra o peso mg:
q\,E_z = m\,g \quad\Longrightarrow\quad q\, 4k\,Q\,\frac{z}{\bigl(\tfrac{L^2}{4}+z^2\bigr)\,\sqrt{\tfrac{L^2}{2}+z^2}} = m\,g.
Isolando Q,
Q = \frac{m\,g}{4k\,q}\, \bigl(\tfrac{L^2}{4}+z^2\bigr)\, \sqrt{\tfrac{L^2}{2}+z^2}\,\frac{1}{z}.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos:
m = 3,46\times10^{-7}\\ \mathrm{kg},\quad g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2},\quad k = 8{,}99\times10^9\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2},
q = 2,45\times10^{-12}\\ \mathrm{C},\quad L = 0,25\\ \mathrm{m},\quad z = 0,214\\ \mathrm{m}.
Calculando,
\tfrac{L^2}{4}+z^2 = 0,015625 + 0,0458 = 0,061425, \quad \tfrac{L^2}{2}+z^2 = 0,03125 + 0,0458 = 0,07705,
Q \approx \frac{(3,46\times10^{-7})(9,8)}{4\,(8,99\times10^9)(2,45\times10^{-12})} \;\frac{0,061425\;\sqrt{0,07705}}{0,214} \approx 3,07\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Resposta

Q \approx 3{,}07\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

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