1. Mostre que a função de onda y=e^b(x-vt) é uma solução da equação de onda linear (Mostrada em sala), onde bé uma constante.
partial^2 ypartial x^2=1v^2 partial^2 ypartial t^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
y = e^b (x - v t)
com b constante satisfaz a equação de onda linear
partial^2 ypartial x^2 ;=;1v^2,partial^2 ypartial t^2
Para isso vamos usar a regra da cadeia e a definição de derivada parcial de uma exponencial.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais em relação a x. Aplicando a regra da cadeia temos
partial ypartial x = b,e^b(x - v t),
e derivando novamente
partial^2 ypartial x^2 = b;partialpartial xl(e^b(x - v t)r) = bl(b,e^b(x - v t)r) = b^2,e^b(x - v t)

Passo 3

Calcular as derivadas parciais em relação a t. De novo pela cadeia,
partial ypartial t = l(-b,vr),e^b(x - v t),
e derivando mais uma vez
partial^2 ypartial t^2 = -b,v;partialpartial tl(e^b(x - v t)r) = -b,vl(-b,v,e^b(x - v t)r) = b^2,v^2,e^b(x - v t)

Passo 4

Agora basta verificar a equação de onda:
partial^2 ypartial x^2 = b^2,e^b(x - v t), 1v^2,partial^2 ypartial t^2 = 1v^2;l(b^2,v^2,e^b(x - v t)r) = b^2,e^b(x - v t)
Como os dois lados coincidem, concluímos que y satisfaz
partial^2 ypartial x^2 =1v^2,partial^2 ypartial t^2

Resposta

A função y = e^b(x - v t) é de fato solução da equação de onda linear.

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