Um próton se encontra em um poço quadrado infinito dado com L=1 fm.
a) Calcule a energia do estado fundamental em MeV .
b) Faça um diagrama de níveis de energia para este sistema.
c) Calcule o comprimento de onda dos fótons emitidos nas transições de n=2 para n=1 ; de n=3 para n=2; e de n=3 para n=1.

Passo 1

O enunciado trata de um próton confinado em um poço infinito unidimensional de largura L=1,fm. Em mecânica quântica, os níveis de energia discretos desse sistema são dados por
En = n^2 h^28 mp L^2,
onde mp é a massa do próton, h é a constante de Planck e n=1,2,3,dots. Precisamos
1. calcular E1 em MeV;
2. fazer o diagrama de níveis para n=1,2,3;
3. obter o comprimento de onda dos fótons emitidos nas transições 2to1, 3to2 e 3to1, usando lambda = hc/De<a E.

Passo 2

Calcular E1 em joules e converter para MeV. Usamos
E1 = h^28,mp,L^2 =(6,626times10^-34,Jcdot s)^2 8times(1,673times10^-27,kg)times(1times10^-15,m)^2 approx3,28times10^-11,J
Convertendo para eV com 1,eV=1,602times10^-19,J,
E1 = 3,28times10^-111,602times10^-19,eV approx2,05times10^8,eV =205,MeV

Passo 3

Expressão geral e valores numéricos:
En = n^2 E1, E1=205,MeV
Logo
E2 = 4times205 = 820,MeV, E3 = 9times205 = 1845,MeV

Passo 4

Diagrama de níveis de energia (valores em MeV, mostrados em escala vertical):
n =3 ────────── 1845 MeV
n =2 ────────── 820 MeV
n =1 ────────── 205 MeV

Passo 5

Para cada transição calculamos De<a E e
lambda = hcDe<a E,
onde hc = 1,239times10^-12,MeVcdot m.
  • Transição 2to1:
    De<a E = E2 - E1 = 820 - 205 = 615,MeV,
lambda2to1 = 1,239times10^-12615 approx2,02times10^-15,m
  • Transição 3to2:
    De<a E = E3 - E2 = 1845 - 820 = 1025,MeV,
lambda3to2 = 1,239times10^-121025 approx1,21times10^-15,m
  • Transição 3to1:
    De<a E = E3 - E1 = 1845 - 205 = 1640,MeV,
lambda3to1 = 1,239times10^-121640 approx7,56times10^-16,m

Resposta

a) E1 = 205,MeV
b) Níveis de energia:
n =1: 205 MeV
n =2: 820 MeV
n =3: 1845 MeV
c) Comprimentos de onda:
lambda2to1approx2,02times10^-15,m, lambda3to2approx1,21times10^-15,m, lambda3to1approx7,56times10^-16,m

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