Mostre que a função produção de \operatorname{Cobb}-Douglas P=b L^{\alpha} K^{\beta} satisfaz a equação
L \frac{\partial P}{\partial L}+K \frac{\partial P}{\partial K}=(\alpha+\beta) P

Passo 1

O enunciado dá a função produção de Cobb–Douglas
P = b\,L^{\alpha}K^{\beta},
onde P é a produção, L é o insumo trabalho, K é o insumo capital, e b,\alpha,\beta são constantes (assumimos b\neq0). A pergunta é: provar a identidade
L\frac{\partial P}{\partial L}+K\frac{\partial P}{\partial K}=(\alpha+\beta)P.
Listei as informações importantes: a expressão explícita de P e a igualdade que precisamos demonstrar.

Passo 2

Antes de derivar, vamos lembrar dois pontos essenciais, explicados com calma:
  1. O que é derivada parcial: \frac{\partial P}{\partial L} significa derivar P em relação a L tratando K como constante. Analogamente, \frac{\partial P}{\partial K} trata L como constante.
  2. Regra da potência (derivada de x^n): se n é uma constante, então
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aqui vamos usar essa regra aplicando-a a L^{\alpha} quando derivamos em relação a L, e a K^{\beta} quando derivamos em relação a K. Se há constantes multiplicando a potência (por exemplo b ou K^{\beta} ao derivar em L), elas permanecem como fatores.

Passo 3

Calculando \frac{\partial P}{\partial L} passo a passo:
Começamos de
P=b\,L^{\alpha}K^{\beta}.
Ao derivar em relação a L tratamos b e K^{\beta} como constantes multiplicativas. Aplicando a regra da potência a L^{\alpha} obtemos
\frac{\partial P}{\partial L} = b\,K^{\beta}\cdot\frac{d}{dL}L^{\alpha} = b\,K^{\beta}\cdot\alpha L^{\alpha-1}.
Reorganizando os fatores:
\frac{\partial P}{\partial L}=b\,\alpha\,L^{\alpha-1}K^{\beta}.

Passo 4

Agora \frac{\partial P}{\partial K}, de forma análoga:
Ao derivar em relação a K tratamos b e L^{\alpha} como constantes. Aplicando a regra da potência a K^{\beta}:
\frac{\partial P}{\partial K} = b\,L^{\alpha}\cdot\frac{d}{dK}K^{\beta} = b\,L^{\alpha}\cdot\beta K^{\beta-1}.
Portanto
\frac{\partial P}{\partial K}=b\,\beta\,L^{\alpha}K^{\beta-1}.

Passo 5

Agora montamos a expressão pedida:
L\frac{\partial P}{\partial L}+K\frac{\partial P}{\partial K}.
Substituindo as derivadas que encontramos:
L\bigl(b\,\alpha\,L^{\alpha-1}K^{\beta}\bigr)+K\bigl(b\,\beta\,L^{\alpha}K^{\beta-1}\bigr).
Multiplicando L e K em cada termo:
b\,\alpha\,L^{\alpha}K^{\beta}+b\,\beta\,L^{\alpha}K^{\beta}.
Agora ambos os termos têm o fator comum b\,L^{\alpha}K^{\beta}, então fatoramos:
b\,L^{\alpha}K^{\beta}(\alpha+\beta).
Mas b\,L^{\alpha}K^{\beta} é exatamente P, então
L\frac{\partial P}{\partial L}+K\frac{\partial P}{\partial K}=(\alpha+\beta)P,
que é o que queríamos demonstrar.

Passo 6

Pequeno exemplo numérico para fixar (opcional, só para ver na prática): tome b=2, \alpha=\tfrac12, \beta=\tfrac12, então P=2L^{1/2}K^{1/2}.
Calculando as parciais:
\frac{\partial P}{\partial L}=2\cdot\tfrac12 L^{-1/2}K^{1/2}=L^{-1/2}K^{1/2},
\frac{\partial P}{\partial K}=L^{1/2}K^{-1/2}.
Então
L\frac{\partial P}{\partial L}+K\frac{\partial P}{\partial K}=L\cdot L^{-1/2}K^{1/2}+K\cdot L^{1/2}K^{-1/2}=2L^{1/2}K^{1/2}= (\tfrac12+\tfrac12)P,
confirmando a identidade nesse caso concreto.

Passo 7

Concluímos que a identidade vale para a função P=bL^{\alpha}K^{\beta} em geral: a soma dos termos L\partial P/\partial L e K\partial P/\partial K é igual a (\alpha+\beta)P. Força aí nos estudos — deu para ver passo a passo como usar a regra da potência e o fato de tratar a outra variável como constante nas derivadas parciais.

Resposta

L\frac{\partial P}{\partial L}+K\frac{\partial P}{\partial K}=(\alpha+\beta)P

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