Mostre que a função produção de
-Douglas
satisfaz a equação
Passo 1
O enunciado dá a função produção de Cobb–Douglas
onde
é a produção,
é o insumo trabalho,
é o insumo capital, e
são constantes (assumimos
). A pergunta é: provar a identidade
Listei as informações importantes: a expressão explícita de
e a igualdade que precisamos demonstrar.
Passo 2
Antes de derivar, vamos lembrar dois pontos essenciais, explicados com calma:
- O que é derivada parcial:
significa derivar em relação a tratando como constante. Analogamente, trata como constante. - Regra da potência (derivada de
): se é uma constante, então
Aqui vamos usar essa regra aplicando-a a
quando derivamos em relação a
, e a
quando derivamos em relação a
. Se há constantes multiplicando a potência (por exemplo
ou
ao derivar em
), elas permanecem como fatores.
Passo 3
Calculando
passo a passo:
Começamos de
Começamos de
Ao derivar em relação a
tratamos
e
como constantes multiplicativas. Aplicando a regra da potência a
obtemos
Reorganizando os fatores:
Passo 4
Agora
, de forma análoga:
Ao derivar em relação a tratamos
e
como constantes. Aplicando a regra da potência a
:
Ao derivar em relação a
Portanto
Passo 5
Agora montamos a expressão pedida:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Multiplicando
e
em cada termo:
Agora ambos os termos têm o fator comum
, então fatoramos:
Mas
é exatamente
, então
que é o que queríamos demonstrar.
Passo 6
Pequeno exemplo numérico para fixar (opcional, só para ver na prática): tome
,
,
, então
.
Calculando as parciais:
Calculando as parciais:
Então
confirmando a identidade nesse caso concreto.
Passo 7
Concluímos que a identidade vale para a função
em geral: a soma dos termos
e
é igual a
. Força aí nos estudos — deu para ver passo a passo como usar a regra da potência e o fato de tratar a outra variável como constante nas derivadas parciais.