Mostre que a função
é harmônica em um domínio apropriado
e determine a conjugada harmônica de
. Com essas funções construa a correspondente função holomorfa
:
seny
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede três coisas: mostrar que
é harmônica em um domínio adequado
; determinar uma conjugada harmônica
de
; construir a função holomorfa correspondente
.
Informações relevantes: a expressão de está explícita para todo
; a função é composta por exponencial e seno, que são suaves em todo o plano.
Informações relevantes: a expressão de
Passo 2
Vamos lembrar o que significa ser harmônica: uma função
é harmônica em um domínio
se ela tem derivadas parciais segundas contínuas em
e satisfaz a equação de Laplace
Agora calculamos as derivadas parciais de
passo a passo (não pule etapas):
Primeiro derivada parcial em
:
Derivada segunda em
:
Agora derivada parcial em
:
Derivada segunda em
:
Somando as duas segundas derivadas:
Portanto
satisfaz a equação de Laplace em todo
. Conclusão:
é harmônica em
(o plano inteiro).
Passo 3
Agora queremos uma conjugada harmônica
tal que
seja holomorfa. Para isso usamos as equações de Cauchy–Riemann (CR). Com a notação onde
é a unidade imaginária (
), as CR escrevem-se:
Nós já temos
e
. Da primeira equação CR temos
Integramos em relação a
(tratando
como constante) para obter
:
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
Passo 4
Impondo a segunda equação CR
determinamos
. Primeiro calcule
:
A condição
diz:
Desenvolvendo o lado direito:
Cancelando termos iguais obtemos
. Assim
é constante:
(constante real). Portanto uma conjugada harmônica é
Observação importante: a conjugada harmônica é determinada à constante aditiva
— isto é, é única até uma constante.
Passo 5
Finalmente construímos a função holomorfa
. Substituindo
e
,
Podemos simplificar e escrever
em termos da variável complexa
. Lembrando que
multiplicando por
obtemos
Portanto
Escolhendo
(a constante aditiva da conjugada), a forma mais simples é
que é claramente holomorfa em todo o plano porque
é inteira.