Mostre que a função u é harmônica em um domínio apropriado D e determine a conjugada harmônica de u. Com essas funções construa a correspondente função holomorfa f=u+j v :
u(x, y)=-e^{-x} seny

Passo 1

O enunciado dá a função u definida por u(x,y)=-e^{-x}\operatorname{sen} y e pede três coisas: mostrar que u é harmônica em um domínio adequado D; determinar uma conjugada harmônica v de u; construir a função holomorfa correspondente f=u+jv.
Informações relevantes: a expressão de u está explícita para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2; a função é composta por exponencial e seno, que são suaves em todo o plano.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa ser harmônica: uma função u(x,y) é harmônica em um domínio D se ela tem derivadas parciais segundas contínuas em D e satisfaz a equação de Laplace
u_{xx}+u_{yy}=0.
Agora calculamos as derivadas parciais de u(x,y)=-e^{-x}\sin y passo a passo (não pule etapas):
Primeiro derivada parcial em x:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}\big(-e^{-x}\sin y\big) = -\big(-e^{-x}\big)\sin y = e^{-x}\sin y.
Derivada segunda em x:
u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{-x}\sin y\big)= -e^{-x}\sin y.
Agora derivada parcial em y:
u_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(-e^{-x}\sin y\big) = -e^{-x}\cos y.
Derivada segunda em y:
u_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(-e^{-x}\cos y\big)= -e^{-x}(-\sin y)= e^{-x}\sin y.
Somando as duas segundas derivadas:
u_{xx}+u_{yy}=(-e^{-x}\sin y)+(e^{-x}\sin y)=0.
Portanto u satisfaz a equação de Laplace em todo \mathbb{R}^2. Conclusão: u é harmônica em D=\mathbb{R}^2 (o plano inteiro).

Passo 3

Agora queremos uma conjugada harmônica v tal que f=u+jv seja holomorfa. Para isso usamos as equações de Cauchy–Riemann (CR). Com a notação onde j é a unidade imaginária ( j^2=-1), as CR escrevem-se:
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
Nós já temos u_x=e^{-x}\sin y e u_y=-e^{-x}\cos y. Da primeira equação CR temos
v_y = u_x = e^{-x}\sin y.
Integramos em relação a y (tratando x como constante) para obter v:
v(x,y)=\int e^{-x}\sin y\,dy = e^{-x}(-\cos y)+\varphi(x) = -e^{-x}\cos y + \varphi(x),
onde \varphi(x) é uma função arbitrária de x (constante de integração em relação a y).

Passo 4

Impondo a segunda equação CR u_y = -v_x determinamos \varphi(x). Primeiro calcule v_x:
v_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(-e^{-x}\cos y + \varphi(x)\big) = e^{-x}\cos y + \varphi'(x).
A condição u_y = -v_x diz:
- e^{-x}\cos y = -\big(e^{-x}\cos y + \varphi'(x)\big).
Desenvolvendo o lado direito:
- e^{-x}\cos y = -e^{-x}\cos y - \varphi'(x).
Cancelando termos iguais obtemos \varphi'(x)=0. Assim \varphi(x) é constante: \varphi(x)=C (constante real). Portanto uma conjugada harmônica é
v(x,y) = -e^{-x}\cos y + C.
Observação importante: a conjugada harmônica é determinada à constante aditiva C — isto é, é única até uma constante.

Passo 5

Finalmente construímos a função holomorfa f=u+jv. Substituindo u e v,
f(x,y)= -e^{-x}\sin y + j\big(-e^{-x}\cos y + C\big) = -e^{-x}\big(\sin y + j\cos y\big) + jC.
Podemos simplificar e escrever f em termos da variável complexa z=x+jy. Lembrando que
e^{-z}=e^{-(x+jy)}=e^{-x}e^{-jy}=e^{-x}(\cos y - j\sin y),
multiplicando por j obtemos
j e^{-z} = e^{-x}(\, \sin y + j\cos y\,).
Portanto
f(x,y) = -e^{-x}\big(\sin y + j\cos y\big) + jC = -j e^{-z} + jC = j\big(C-e^{-z}\big).
Escolhendo C=0 (a constante aditiva da conjugada), a forma mais simples é
f(z) = -j e^{-z},
que é claramente holomorfa em todo o plano porque e^{-z} é inteira.

Resposta

D=\mathbb{R}^2\n
v(x,y)=-e^{-x}\cos y + C (constante C\in\mathbb{R})\n
f(z)= -j e^{-z} + jC (em particular, para C=0, f(z)=-j e^{-z})

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