Determine as funções da parte real e parte imaginária de cada uma das seguintes funções complexas de variável complexa:
Passo 1
O enunciado pede: determinar as funções da parte real e da parte imaginária da função complexa
.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
Informações dadas e o que devemos encontrar:
- A função complexa é
. - Devemos escrever a parte real
e a parte imaginária em termos das coordenadas reais e de . - Assumimos a notação usual
, com e sendo a unidade imaginária.
Passo 2
Definições e lembretes importantes (mini-aula rápida para não pular etapas):
- Se
, então e . Aqui queremos e . - A unidade imaginária satisfaz
.\n - Para separar parte real e imaginária de uma expressão, expandimos em termos de
e e agrupamos os termos sem (reais) e os coeficientes multiplicando (imaginários).
Passo 3
Escrevemos
em coordenadas reais e começamos a calcular
. Substitui-se
:
Agora expandimos usando a distributiva (ou fórmula do quadrado):
Usando
temos
. Portanto
Passo 4
Calculamos o termo linear
. Substituindo
:
Passo 5
Agora somamos todos os termos de
. Usando os resultados dos passos anteriores:
Agrupamos os termos reais (sem
) e os termos multiplicando
:
- Termos reais:
. - Termos com
: , todos multiplicando .
Assim
Passo 6
Interpretação final (como usar na prova):
- A parte real
é justamente o coeficiente da parte sem . Então
- A parte imaginária
é o coeficiente que multiplica . Então
Dica: sempre que receber uma expressão em
, substitua
, expanda e agrupe reais e imaginários — é um processo mecânico que quase sempre resolve a questão.