Determine as funções da parte real e parte imaginária de cada uma das seguintes funções complexas de variável complexa:
f(z)=z^{2}+3 z-5 j

Passo 1

O enunciado pede: determinar as funções da parte real e da parte imaginária da função complexa f(z)=z^{2}+3 z-5 j.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
  • A função complexa é f(z)=z^{2}+3 z-5 j.
  • Devemos escrever a parte real u(x,y) e a parte imaginária v(x,y) em termos das coordenadas reais x e y de z.
  • Assumimos a notação usual z=x+j y, com x,y\in\mathbb{R} e j sendo a unidade imaginária.

Passo 2

Definições e lembretes importantes (mini-aula rápida para não pular etapas):
  • Se z=x+j y, então x=\operatorname{Re}(z) e y=\operatorname{Im}(z). Aqui queremos u(x,y)=\operatorname{Re}(f(z)) e v(x,y)=\operatorname{Im}(f(z)).
  • A unidade imaginária satisfaz \;j^{2}=-1.\n
  • Para separar parte real e imaginária de uma expressão, expandimos em termos de x e y e agrupamos os termos sem j (reais) e os coeficientes multiplicando j (imaginários).

Passo 3

Escrevemos z em coordenadas reais e começamos a calcular z^{2}. Substitui-se z=x+j y:
z^{2}=(x+j y)^{2}.
Agora expandimos usando a distributiva (ou fórmula do quadrado):
(x+j y)^{2}=x^{2}+2x\cdot(j y)+(j y)^{2}.
Usando j^{2}=-1 temos (j y)^{2}=j^{2}y^{2}=-y^{2}. Portanto
z^{2}=x^{2}+2j x y - y^{2}.

Passo 4

Calculamos o termo linear 3z. Substituindo z=x+j y:
3z=3(x+j y)=3x+3j y.

Passo 5

Agora somamos todos os termos de f(z)=z^{2}+3z-5j. Usando os resultados dos passos anteriores:
z^{2}+3z-5j=(x^{2}+2j x y - y^{2})+(3x+3j y)-5j.
Agrupamos os termos reais (sem j) e os termos multiplicando j:
  • Termos reais: x^{2}-y^{2}+3x.
  • Termos com j: 2x y + 3y - 5, todos multiplicando j.
    Assim
f(z)=\bigl(x^{2}-y^{2}+3x\bigr) + j\bigl(2x y + 3y - 5\bigr).

Passo 6

Interpretação final (como usar na prova):
  • A parte real u(x,y) é justamente o coeficiente da parte sem j. Então
u(x,y)=x^{2}-y^{2}+3x.
  • A parte imaginária v(x,y) é o coeficiente que multiplica j. Então
v(x,y)=2x y + 3y - 5.
Dica: sempre que receber uma expressão em z, substitua z=x+j y, expanda e agrupe reais e imaginários — é um processo mecânico que quase sempre resolve a questão.

Resposta

u(x,y)=x^{2}-y^{2}+3x
v(x,y)=2x y + 3y - 5

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