Seja
. Uma função
é dita homogênea de grau
se para todo
. Verifique que as seguintes funções são homogêneas e determine o grau:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que é pedido:
- Verificar se
é homogênea, isto é, checar se existe um inteiro tal que, para todo e todo no domínio de , valha . - Determinar esse grau
, se existir.
Observação importante extraída do enunciado: a função não está definida quando
. Ao efetuar escalamento por
, a soma
tem o mesmo sinal de
, portanto o domínio é compatível com a verificação (ou seja, se
está no domínio, então
também está).
Passo 2
Definição e estratégia: uma função
é homogênea de grau
se, para todo
e todo ponto
do domínio, valer
Aqui
e
é o fator de escala positivo. Para verificar a homogeneidade de
basta calcular
e ver se se reduz a
para algum inteiro
. Vou calcular explicitamente e simplificar a expressão.
Passo 3
Calcular diretamente
. Pela definição de
,
Passo 4
Fatorando
no denominador:
Substituindo no passo anterior obtemos
Passo 5
Agora separamos o fator
fora do denominador:
Reconhecendo a definição de
no segundo fator:
Passo 6
Interpretação e conclusão: a igualdade do Passo 5 mostra que, para todo
e todo
com
,
Portanto
é homogênea e o grau é
. Observação sobre domínio: se
então
para
, logo o escalamento mantém o ponto dentro do domínio — não há problema de definição ao aplicar a propriedade.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para sentir a ideia: escolha
. Então
. Para
,
confirmando na prática que o fator é
.