Seja \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}. Uma função f(\mathbf{x}) é dita homogênea de grau n \in \mathbb{Z} se para todo t>0, f(t \mathbf{x})=t^{n} f(\mathbf{x}). Verifique que as seguintes funções são homogêneas e determine o grau:
(e) f(x, y, z)=\frac{1}{x+y+z}

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^3\setminus\{x+y+z=0\}\to\mathbb{R} definida por
f(x,y,z)=\frac{1}{x+y+z}.
O que é pedido:
  • Verificar se f é homogênea, isto é, checar se existe um inteiro k tal que, para todo t>0 e todo (x,y,z) no domínio de f, valha f(t x,t y,t z)=t^{k}f(x,y,z).
  • Determinar esse grau k, se existir.
Observação importante extraída do enunciado: a função não está definida quando x+y+z=0. Ao efetuar escalamento por t>0, a soma t(x+y+z) tem o mesmo sinal de x+y+z, portanto o domínio é compatível com a verificação (ou seja, se (x,y,z) está no domínio, então (t x,t y,t z) também está).

Passo 2

Definição e estratégia: uma função g é homogênea de grau k\in\mathbb{Z} se, para todo t>0 e todo ponto \mathbf{u} do domínio, valer
g(t\mathbf{u}) = t^{k}\,g(\mathbf{u}).
Aqui \mathbf{u}=(x,y,z) e t é o fator de escala positivo. Para verificar a homogeneidade de f basta calcular f(t x,t y,t z) e ver se se reduz a t^{k}f(x,y,z) para algum inteiro k. Vou calcular explicitamente e simplificar a expressão.

Passo 3

Calcular diretamente f(t x,t y,t z). Pela definição de f,
f(t x,t y,t z)=\frac{1}{t x + t y + t z}.

Passo 4

Fatorando t no denominador:
t x + t y + t z = t(x+y+z).
Substituindo no passo anterior obtemos
f(t x,t y,t z)=\frac{1}{t(x+y+z)}.

Passo 5

Agora separamos o fator t fora do denominador:
\frac{1}{t(x+y+z)} = \frac{1}{t}\cdot\frac{1}{x+y+z}.
Reconhecendo a definição de f(x,y,z) no segundo fator:
f(t x,t y,t z) = t^{-1}\,f(x,y,z).

Passo 6

Interpretação e conclusão: a igualdade do Passo 5 mostra que, para todo t>0 e todo (x,y,z) com x+y+z\neq0,
f(t x,t y,t z)=t^{-1}f(x,y,z).
Portanto f é homogênea e o grau é k=-1. Observação sobre domínio: se x+y+z\neq0 então t(x+y+z)\neq0 para t>0, logo o escalamento mantém o ponto dentro do domínio — não há problema de definição ao aplicar a propriedade.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para sentir a ideia: escolha (x,y,z)=(1,2,3). Então f(1,2,3)=1/(1+2+3)=1/6. Para t=2,
f(2,4,6)=\frac{1}{2+4+6}=\frac{1}{12}=2^{-1}\cdot\frac{1}{6},
confirmando na prática que o fator é t^{-1}.

Resposta

f é homogênea de grau -1.

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