Verifique que as funções dadas satisfazem a equação de Laplace em dimensão 3, partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2=0:
(b) f(x, y, z)=e^3 x+4 y cos (5 z)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função satisfaz a equação de Laplace em R^3, ou seja, se vale partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2=0. Vamos usar teoria de derivadas parciais de segunda ordem e do operador laplaciano.

Passo 2

Primeiro calculamos partial^2 fpartial x^2. Temos
f(x,y,z)=e^3x+4ycos(5z) Derivando em x:
fx=3e^3x+4ycos(5z),
e derivando de novo:
fxx=9e^3x+4ycos(5z)

Passo 3

Em seguida calculamos partial^2 fpartial y^2. Derivando em y:
fy=4e^3x+4ycos(5z),
e de novo:
fyy=16e^3x+4ycos(5z)

Passo 4

Agora partial^2 fpartial z^2. Derivando em z:
fz=-5e^3x+4ysin(5z),
e de novo:
fzz=-25e^3x+4ycos(5z)

Passo 5

Por fim somamos as segundas derivadas:
fxx+fyy+fzz=(9+16-25)e^3x+4ycos(5z)=0
Como a soma dá zero, a equação de Laplace é satisfeita.

Resposta

Sim. A função satisfaz fxx+fyy+fzz=0 em R^3, logo é harmônica.

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