Verifique que as funções dadas satisfazem a equação de Laplace em dimensão
:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função satisfaz a equação de Laplace em
, ou seja, se vale
. Vamos usar teoria de derivadas parciais de segunda ordem e do operador laplaciano.
Passo 2
Primeiro calculamos
. Temos
e derivando de novo:
Passo 3
Em seguida calculamos
. Derivando em
:
e de novo:
Passo 4
Agora
. Derivando em
:
e de novo:
Passo 5
Por fim somamos as segundas derivadas:
Como a soma dá zero, a equação de Laplace é satisfeita.
Resposta
Sim. A função satisfaz
em
, logo é harmônica.