Obtenha uma equação vetorial da reta t que contém o ponto P(2,-1,1) e é concorrente com as retas
r:l x=1+2 alpha y=1+alpha z=4-alpha , alpha in R ; s:l x=beta y=3+4 beta z=1+2 beta , beta in R

Passo 1

O enunciado pede a reta
ou seja, existe ponto e ponto em tais que são colineares. Para resolver vamos parametrizar e impor condições de interseção e colinearidade.

Passo 2

Seja
A=(1+2alpha,;1+alpha,;4-alpha), B=(beta,;3+4beta,;1+2beta)
Então
PA=(1+2alpha-2,;1+alpha+1,;4-alpha-1)=(-1+2alpha,;2+alpha,;3-alpha),
PB=(beta-2,;3+4beta+1,;1+2beta-1)=(beta-2,;4+4beta,;2beta)
Colinearidade de PA e PB implica
-1+2alphabeta-2 = 2+alpha4+4beta = 3-alpha2beta

Passo 3

Das duas primeiras razões obtemos
(-1+2alpha)(4+4beta)=(2+alpha)(beta-2) ;Longrightarrow; alpha=6beta7beta+10
Igualando a segunda e a terceira razão e substituindo essa alpha chega-se a
beta^2+7beta+6=0 ;Longrightarrow; beta=-1oubeta=-6

Passo 4

Para cada solução de beta calculamos alpha, depois A e o vetor direção de t:
  • Se beta=-1 então alpha=-2 e A=(-3,-1,6), PA=(-5,0,5)=(-1,0,1) Logo uma reta é (x,y,z)=(2,-1,1)+t,(-1,0,1)
  • Se beta=-6 então alpha=tfrac98 e Al(tfrac134,tfrac178,tfrac238r), PA=l(tfrac54,tfrac258,tfrac158r) =(2,5,3)(até fator) éLogo a outra reta é (x,y,z)=(2,-1,1)+t,(2,5,3)

Resposta

As retas concorrentes com r e s que passam por P são
t1:;(x,y,z)=(2,-1,1)+t,(-1,0,1), t2:;(x,y,z)=(2,-1,1)+t,(2,5,3)

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