Mostre que as funções
e
são linearmente independentes em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que as funções
e
são linearmente independentes em .
Para isso vamos usar a definição: são lin. indep. se toda combinação
para todo
implica
.
são linearmente independentes em
Para isso vamos usar a definição: são lin. indep. se toda combinação
Passo 2
Suponha que existam constantes reais
tais que, para todo
,
Passo 3
Como
para todo
, podemos dividir a relação acima por
e obter
Mas
é um polinômio em
que só pode ser identicamente zero se todos os seus coeficientes forem nulos. Portanto
Passo 4
Como a única combinação linear que anula
e
é a trivial (
), concluímos que
e
são linearmente independentes em
.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes em
.