Mostre que as funções e^k x e x e^k x são linearmente independentes em R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que as funções
;f1(x)=e^k x; e ;f2(x)=x,e^k x;
são linearmente independentes em R.
Para isso vamos usar a definição: são lin. indep. se toda combinação
;c1f1(x)+c2f2(x)=0; para todo x implica c1=c2=0.

Passo 2

Suponha que existam constantes reais c1,c2 tais que, para todo xinR,
c1,e^k x+c2,x,e^k x=0

Passo 3

Como e^k xneq0 para todo x, podemos dividir a relação acima por e^k x e obter
c1 + c2,x = 0, forall xinR
Mas c1 + c2 x é um polinômio em x que só pode ser identicamente zero se todos os seus coeficientes forem nulos. Portanto
c2 = 0 e c1 = 0

Passo 4

Como a única combinação linear que anula f1 e f2 é a trivial ( c1=c2=0), concluímos que ,e^k x e x,e^k x são linearmente independentes em R.

Resposta

As funções ;e^k x; e ;x,e^k x; são linearmente independentes em R.

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