Mostre que as funções:
u=ln (1r), onde r=((x-a)^2+(y-b)^2)^1 / 2;
satisfazem a equação de Lanlace, ux x+uy y=0.

Passo 1

O enunciado define
u(x,y)=ln!l(tfrac1rr), r=raiz(x-a)^2+(y-b)^2,
e pede para mostrar que
uxx+uyy=0
O conteúdo aqui é verificar que u é harmônica, ou seja, satisfaz a equação de Laplace, usando derivadas parciais de primeira e segunda ordem.

Passo 2

Para começar, note que
pois . Usando a regra da cadeia e que
temos

Passo 3

Agora calculamos as derivadas segundas aplicando a regra do quociente. Para :
Para :

Passo 4

Somando as duas segundas derivadas:
uxx+uyy =(x-a)^2-(y-b)^2r^4 +(y-b)^2-(x-a)^2r^4 =0

Resposta

Portanto, ;uxx+uyy=0, isto é, u=ln(1/r) satisfaz a equação de Laplace em todo ponto onde rneq0.

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