Mostre que as funções:
, onde
;
satisfazem a equação de Lanlace,
.
satisfazem a equação de Lanlace,
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que
O conteúdo aqui é verificar que
é harmônica, ou seja, satisfaz a equação de Laplace, usando derivadas parciais de primeira e segunda ordem.
Passo 2
Para começar, note que
pois
. Usando a regra da cadeia e que
temos
Passo 3
Agora calculamos as derivadas segundas aplicando a regra do quociente. Para
:
Para
:
Passo 4
Somando as duas segundas derivadas:
Resposta
Portanto,
, isto é,
satisfaz a equação de Laplace em todo ponto onde
.