Seja f(x, y)=x^3 y^2-5 x y+varphi(y). Determine uma função varphi de modo que
partial fpartial y=2 x^3 y-6 x+yy^2+1

Passo 1

O enunciado nos dá
f(x,y)=x^3y^2-5xy+varphi(y)
e pede que
partial fpartial y=2x^3y-6x+yy^2+1
O conteúdo é cálculo de derivada parcial em relação a y.

Passo 2

Vamos calcular diretamente partial f/partial y. Como varphi depende só de y,
partial fpartial y =partialpartial yl(x^3y^2r) -partialpartial y(5xy) +varphi'(y)
Derivando termo a termo:
partialpartial yl(x^3y^2r) =2x^3y, partialpartial y(5xy) =5x
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partial fpartial y =2x^3y -5x + varphi'(y)

Passo 3

Para que isso seja igual a
2x^3y-6x+yy^2+1,
devemos ter
2x^3y -5x + varphi'(y) ;=; 2x^3y -6x + yy^2+1
Cancelando 2x^3y dos dois lados, obtemos
-5x + varphi'(y) =-6x + yy^2+1
Reagrupando,
varphi'(y) =-6x + yy^2+1 +5x =-x + yy^2+1

Passo 4

A condição acima diz que varphi'(y) deve ser igual a -x + tfracyy^2+1. Mas varphi'(y) só pode depender de y, não de x. Como aparece o termo -x, não há como escolher uma varphi(y) que elimine essa dependência em x.

Passo 5

Concluímos que não existe função varphi de uma única variável y que faça
partial f/partial y = 2x^3y-6x+tfracyy^2+1 para todos (x,y).

Resposta

Não existe função varphi(y) que satisfaça a condição dada.

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