Mostre que:
O sistema massa-mola na vertical ou na horizontal é um sistema clássico de oscilador harmônico.
O sistema massa-mola na vertical ou na horizontal é um sistema clássico de oscilador harmônico.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que tanto o sistema massa–mola na horizontal quanto na vertical satisfazem a equação do oscilador harmônico simples. Vamos usar a segunda lei de Newton e a lei de Hooke para derivar a equação de movimento em cada caso e verificar que ela tem a forma
onde
é o deslocamento em torno da posição de equilíbrio.
Passo 2
Considere o sistema massa–mola na horizontal, sem atrito. Seja
o deslocamento da massa em relação à posição em que a mola está livre de tensão. A única força horizontal é a força elástica da mola, dada por
.
Pela segunda lei de Newton:
Pela segunda lei de Newton:
Rearranjando, obtemos
que é exatamente a equação do oscilador harmônico simples com frequência natural
.
Passo 3
Agora considere o sistema massa–mola na vertical, sob a ação da gravidade. Seja
a extensão da mola medida a partir de sua posição natural (sem carga). A força elástica é
e a força peso é
para baixo. A posição de equilíbrio
satisfaz
Definindo o deslocamento em torno do equilíbrio por
, a força resultante fica
Aplicando a segunda lei,
novamente a equação do oscilador harmônico simples.
Passo 4
Em ambos os casos chegamos à mesma forma de equação de movimento,
que caracteriza um oscilador harmônico simples com frequência natural
Resposta
O sistema massa–mola, seja na horizontal ou na vertical (medindo-se o deslocamento a partir do equilíbrio), satisfaz a equação
portanto é um oscilador harmônico simples de frequência
.