Mostre que g1(x) = 6 - x^2 e g2(x) = raiz6-x são tais que gi(x) = x, i=1,2 se, e somente se, f(x) = 0.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem
g1(x)=6 - x^2 e g2(x)=raiz6-x ,
duas “tentativas” de rearranjo para resolver gi(x)=x Long<=ftrightarrow f(x)=0, :
O que queremos provar é que
para .
Conteúdo envolvido: fixed point (ponto fixo), manipulação algébrica (isolar , reordenar termos) e cuidado com domínio em .

Passo 2

Verificando g1(x)=x ;Long<=ftrightarrow; 6 - x^2 = x :
  1. Parto de 6 - x^2 - x = 0 ;Long<=ftrightarrow; -x^2 - x + 6 = 0 ;Long<=ftrightarrow; x^2 + x - 6 = 0,
  2. Reagrupo tudo de um lado: que é exatamente .

Passo 3

Verificando g2(x)=x ;Long<=ftrightarrow; raiz6-x = x :
  1. Parto de (raiz6-x)^2 = x^2 ;Long<=ftrightarrow; 6 - x = x^2 ;Long<=ftrightarrow; x^2 + x - 6 = 0,
  2. Para poder elevar ao quadrado sem erro, preciso lembrar que a raiz quadrada só dá valor , então isso já me impõe e .
  3. Elevando os dois lados ao quadrado: ou seja, de novo .

Passo 4

Agora o converso: x^2 = 6 - x Longrightarrow 6 - x^2 = x Longrightarrow g1(x)=x .
  1. Se x = pmraiz6-x então .
  2. Dessa equação gente tira
  3. Também de vem Mas está definido como a raiz principal , então a única solução que de fato satisfaz é aquela com (que coincide com a raiz positiva de ). Logo e dão .

Resposta

Mostramos que, para gi(x)=x Long<=ftrightarrow f(x)=0, ,
sendo que, no caso de , é preciso respeitar para usar a raiz quadrada.

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