Mostre que
e
são tais que
,
se, e somente se,
.
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente tem
,
duas “tentativas” de rearranjo para resolver :
duas “tentativas” de rearranjo para resolver
O que queremos provar é que
para
.
Conteúdo envolvido: fixed point (ponto fixo), manipulação algébrica (isolar , reordenar termos) e cuidado com domínio em
.
Conteúdo envolvido: fixed point (ponto fixo), manipulação algébrica (isolar
Passo 2
Verificando
:
- Parto de
- Reagrupo tudo de um lado:
que é exatamente .
Passo 3
Verificando
:
- Parto de
- Para poder elevar ao quadrado sem erro, preciso lembrar que a raiz quadrada só dá valor
, então isso já me impõe e . - Elevando os dois lados ao quadrado:
ou seja, de novo .
Passo 4
Agora o converso:
.
- Se
então . - Dessa equação gente tira
- Também de
vem Mas está definido como a raiz principal , então a única solução que de fato satisfaz é aquela com (que coincide com a raiz positiva de ). Logo e dão .
Resposta
Mostramos que, para
,
sendo que, no caso de
, é preciso respeitar
para usar a raiz quadrada.