Mostre que para um gás de van der Waals:
a) V_{c}=3 b
b) P_{c}=\frac{a}{27 b^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que para um gás de van der Waals vale
a) V_c=3b
b) P_c=\frac{a}{27b^2}.
O conteúdo é o ponto crítico de uma isoterma dada pela equação de van der Waals, usando as condições
\partial P/\partial V=0 e \partial^2P/\partial V^2=0.

Passo 2

A equação de van der Waals no formato P=P(V,T) é
P = \frac{R\,T}{V - b} \;-\;\frac{a}{V^2}.

Passo 3

No ponto crítico (V_c,T_c,P_c) a isoterma tem ponto de inflexão, logo
\Bigl(\tfrac{\partial P}{\partial V}\Bigr)_{T_c}=0, \quad \Bigl(\tfrac{\partial^2P}{\partial V^2}\Bigr)_{T_c}=0.

Passo 4

Calculando a primeira derivada:
\frac{\partial P}{\partial V} = -\frac{R\,T}{(V - b)^2} + \frac{2a}{V^3}.
Em (V_c,T_c) isso dá
\frac{R\,T_c}{(V_c - b)^2} = \frac{2a}{V_c^3}.

Passo 5

Calculando a segunda derivada:
\frac{\partial^2P}{\partial V^2} = \frac{2R\,T}{(V - b)^3} - \frac{6a}{V^4}.
Em (V_c,T_c) igual a zero fica
\frac{2R\,T_c}{(V_c - b)^3} = \frac{6a}{V_c^4} \;\Longrightarrow\; \frac{R\,T_c}{(V_c - b)^3} = \frac{3a}{V_c^4}.

Passo 6

Dividindo a segunda condição pela primeira:
\frac{\displaystyle\frac{R\,T_c}{(V_c - b)^3}} {\displaystyle\frac{R\,T_c}{(V_c - b)^2}} = \frac{\displaystyle\frac{3a}{V_c^4}} {\displaystyle\frac{2a}{V_c^3}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{V_c - b} = \frac{3}{2}\,\frac{1}{V_c} \quad\Longrightarrow\quad V_c = 3b.

Passo 7

Substituindo V_c=3b em \frac{R\,T_c}{(V_c - b)^2} = \frac{2a}{V_c^3}:
\frac{R\,T_c}{(2b)^2} = \frac{2a}{27b^3} \quad\Longrightarrow\quad R\,T_c = \frac{8a}{27b} \quad\Longrightarrow\quad T_c = \frac{8a}{27b\,R}.

Passo 8

A pressão crítica é
P_c = \frac{R\,T_c}{V_c - b} - \frac{a}{V_c^2}.
Com V_c=3b e T_c=\frac{8a}{27bR}:
P_c = \frac{R\cdot\frac{8a}{27bR}}{2b} - \frac{a}{9b^2} = \frac{8a}{54b^2} - \frac{a}{9b^2} = \frac{a}{27b^2}.

Resposta

a) V_c = 3b.
b) P_c = \dfrac{a}{27b^2}.

Exercícios relacionados