Sabendo que para um certo gás \alpha=1 / \mathrm{T} e \beta=1 / \mathrm{P}, encontre sua equação de estado.

Passo 1

O enunciado dá os coeficientes térmico e de compressibilidade do volume de um gás:
\displaystyle \alpha=\frac{1}{V}\biggl(\frac{\partial V}{\partial T}\biggr)_{P}=\frac{1}{T} e
\displaystyle \beta=-\frac{1}{V}\biggl(\frac{\partial V}{\partial P}\biggr)_{T}=\frac{1}{P}.
O objetivo é achar a equação de estado V(P,T), ou seja uma relação do tipo f(P,V,T)=0.

Passo 2

Começamos de
\alpha=\frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P}=\frac{1}{T}
que implica
\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P}=\frac{V}{T}.
Para um P fixo, separamos variáveis:
\frac{1}{V}\,dV=\frac{1}{T}\,dT \quad\Longrightarrow\quad \ln V=\ln T + F(P),
onde F(P) é uma “constante” de integração que pode depender de P. Assim
V = T\,g(P),
com g(P)=e^{F(P)}.

Passo 3

Agora usamos
\beta=-\frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_{T}=\frac{1}{P},
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\Bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_{T}=-\frac{V}{P}.
Substituindo V=T\,g(P) nessa derivada a T constante,
T\,g'(P)=-\frac{T\,g(P)}{P} \quad\Longrightarrow\quad \frac{g'(P)}{g(P)}=-\frac{1}{P}.
Integramos em P:
\ln g(P)=-\ln P + \ln k \quad\Longrightarrow\quad g(P)=\frac{k}{P},
sendo k constante de integração (independente de P e T).

Passo 4

Substituindo g(P) em V=T\,g(P) obtemos
V = T\;\frac{k}{P} \quad\Longrightarrow\quad P\,V = k\,T.
Esse é o formato geral de uma equação de estado de gás ideal, onde k depende da quantidade de substância.

Resposta

P\,V = k\,T,
ou, identificando k=nR, a forma usual
\boxed{P\,V = n\,R\,T.}

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