Para a órbita espiral r=C \theta^{2}, obtenha a energia E, o potencial V(r) e a força F(r). Dica: para obter a energia use a equação diferencial:
\frac{m l^{2}}{2}\left[\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2}+u^{2}\right]+V\left(u^{-1}\right)=E

Passo 1

O enunciado pede, para a órbita espiral
r = C\,\theta^{2}\,,
que a gente encontre
1. a energia total E como função de r (usando
\frac{m\,l^{2}}{2}\Bigl[\bigl(\tfrac{du}{d\theta}\bigr)^{2}+u^{2}\Bigr]+V\bigl(u^{-1}\bigr)=E
com u=1/r),
2. o potencial V(r) que gera essa órbita, e
3. a força central F(r).
Conteúdo principal: uso da forma integral da energia em coordenadas polares e da equação de Binet para obter V e F.

Passo 2

Definimos
u(\theta)=\frac{1}{r(\theta)}=\frac{1}{C\,\theta^{2}}\,,
logo
\frac{du}{d\theta} =-\frac{2}{C}\,\theta^{-3} \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{du}{d\theta}\Bigr)^{2} =\frac{4}{C^{2}}\,\theta^{-6}\,.

Passo 3

Na equação da energia substituímos
\bigl(\tfrac{du}{d\theta}\bigr)^{2}+u^{2} =\frac{4}{C^{2}\,\theta^{6}}+\frac{1}{C^{2}\,\theta^{4}} =\frac{1}{C^{2}}\;\frac{4+\theta^{2}}{\theta^{6}}\,.
Portanto
\frac{m\,l^{2}}{2}\Bigl[\bigl(\tfrac{du}{d\theta}\bigr)^{2}+u^{2}\Bigr] =\frac{m\,l^{2}}{2\,C^{2}}\;\frac{4+\theta^{2}}{\theta^{6}}\,.

Passo 4

Expressamos tudo em função de r. Como r=C\,\theta^{2} temos
\theta^{2}=r/C e \theta^{6}=(r/C)^{3}=r^{3}/C^{3}. Logo
\frac{4+\theta^{2}}{\theta^{6}} =\frac{4+\tfrac{r}{C}}{\,r^{3}/C^{3}\,} =\frac{C^{3}}{r^{3}}\;\frac{4C+r}{C} =C^{2}\,\frac{4C+r}{r^{3}}.
Assim a parte cinética efetiva fica
\frac{m\,l^{2}}{2\,C^{2}}\;C^{2}\,\frac{4C+r}{r^{3}} =\frac{m\,l^{2}}{2}\,\frac{4C+r}{r^{3}}.
Substituindo na equação de energia obtemos
E =\frac{m\,l^{2}}{2}\,\frac{4C+r}{r^{3}}+V(r).

Passo 5

Para ter um potencial bem definido escolhemos o referencial V(\infty)=0. Como a órbita vai a r\to\infty, e a parte cinética efetiva \to 0, isso implica
E=0 \quad\Longrightarrow\quad V(r)=-\frac{m\,l^{2}}{2}\,\frac{4C+r}{r^{3}}.
Finalmente a força central é
F(r)=-\frac{dV}{dr} =-\frac{d}{dr}\Bigl[-\frac{m\,l^{2}}{2}\,\frac{4C+r}{r^{3}}\Bigr] =\;m\,l^{2}\,\frac{d}{dr}\Bigl[\frac{4C+r}{2\,r^{3}}\Bigr] =-m\,l^{2}\,\frac{r+6C}{r^{4}}.

Resposta

E=0 (escala de potencial em V(\infty)=0),
V(r)=-\frac{m\,l^{2}}{2}\,\frac{4C+r}{r^{3}},
F(r)=-m\,l^{2}\,\frac{r+6C}{r^{4}}.

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