Mostre que, em geral, A B \neq B A, calculando ambos quando possível:
A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\\\ 1 & 3 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B e pede para calcular AB e BA quando possível, mostrando que em geral AB \neq BA. As matrizes fornecidas são:
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}.
As perguntas explícitas são:
  • Calcular a matriz AB.
  • Calcular a matriz BA.
  • Comparar os resultados e mostrar que, neste caso, AB\neq BA.]

Passo 2

Verificar se os produtos são definidos (ou seja, as dimensões permitem multiplicação). Ambas A e B são matrizes 2\times2. Para duas matrizes quadradas 2\times2, tanto AB quanto BA são definidos e resultam em matrizes 2\times2. Então podemos calcular ambos.

Passo 3

Relembrando a regra prática de multiplicação: para matrizes 2\times2 temos a fórmula para o elemento na linha i e coluna j do produto C=XY:
C_{ij}=\sum_{k=1}^{2} X_{ik}\,Y_{kj}.
Isto é, cada elemento de C é o produto escalar da linha i de X com a coluna j de Y. Vou aplicar essa regra posição a posição para calcular AB e depois BA. Vou explicar e calcular cada entrada sem pular etapas.

Passo 4

Cálculo detalhado de AB.
Escrevendo o produto em forma de matriz:
AB=\begin{pmatrix} (AB)_{11} & (AB)_{12}\\[4pt] (AB)_{21} & (AB)_{22} \end{pmatrix},
onde cada entrada é obtida por produto de linha de A por coluna de B.
  • Entrada (AB)_{11}: linha 1 de A é (1,2), coluna 1 de B é \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}. Então
(AB)_{11}=1\cdot 2 + 2\cdot 1 = 2 + 2 = 4.
  • Entrada (AB)_{12}: linha 1 de A é (1,2), coluna 2 de B é \begin{pmatrix}0\\[4pt]3\end{pmatrix}. Então
(AB)_{12}=1\cdot 0 + 2\cdot 3 = 0 + 6 = 6.
  • Entrada (AB)_{21}: linha 2 de A é (0,1), coluna 1 de B é \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}. Então
(AB)_{21}=0\cdot 2 + 1\cdot 1 = 0 + 1 = 1.
  • Entrada (AB)_{22}: linha 2 de A é (0,1), coluna 2 de B é \begin{pmatrix}0\\[4pt]3\end{pmatrix}. Então
(AB)_{22}=0\cdot 0 + 1\cdot 3 = 0 + 3 = 3.
Portanto
AB=\begin{pmatrix}4 & 6\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 5

Cálculo detalhado de BA.
Escrevendo o produto:
BA=\begin{pmatrix} (BA)_{11} & (BA)_{12}\\[4pt] (BA)_{21} & (BA)_{22} \end{pmatrix},
e aplicando a mesma regra (linha de B por coluna de A).
  • Entrada (BA)_{11}: linha 1 de B é (2,0), coluna 1 de A é \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}. Então
(BA)_{11}=2\cdot 1 + 0\cdot 0 = 2 + 0 = 2.
  • Entrada (BA)_{12}: linha 1 de B é (2,0), coluna 2 de A é \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}. Então
(BA)_{12}=2\cdot 2 + 0\cdot 1 = 4 + 0 = 4.
  • Entrada (BA)_{21}: linha 2 de B é (1,3), coluna 1 de A é \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}. Então
(BA)_{21}=1\cdot 1 + 3\cdot 0 = 1 + 0 = 1.
  • Entrada (BA)_{22}: linha 2 de B é (1,3), coluna 2 de A é \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}. Então
(BA)_{22}=1\cdot 2 + 3\cdot 1 = 2 + 3 = 5.
Portanto
BA=\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt]1 & 5\end{pmatrix}.]

Passo 6

Comparação e conclusão. Os dois produtos encontrados são
AB=\begin{pmatrix}4 & 6\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt]1 & 5\end{pmatrix}.
Como as entradas não coincidem (por exemplo, (AB)_{11}=4 enquanto (BA)_{11}=2), concluímos que AB\neq BA para estas matrizes. Isso ilustra a propriedade geral: multiplicação de matrizes não é, em geral, comutativa — trocar a ordem dos fatores pode mudar o resultado.]

Resposta

AB=\begin{pmatrix}4 & 6\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}
BA=\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt]1 & 5\end{pmatrix}]

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