a) Mostre que G=a^n mid n in Z é um subgrupo de (R+^*, cdot).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
G = a^n mid n in Z
é um subgrupo de
l(R+^*, cdotr).
O conteúdo é teoria de grupos: para mostrar que G é subgrupo, basta verificar que (i) a identidade de R+^* está em G, (ii) G é fechado sob o produto, e (iii) todo elemento de G tem inverso em G.

Passo 2

Identidade: na multiplicação em R+^*, o elemento neutro é 1. Como
a^0 = 1,
segue que 1in G.

Passo 3

Fechamento: seja x,yin G. Então existem m,ninZ tais que x=a^m e y=a^n. Logo
xcdot y = a^m cdot a^n = a^m+n
Como m+ninZ, concluímos que xcdot yin G.

Passo 4

Inversos: seja xin G. Então x=a^m para algum minZ. O inverso de x em R+^* é
x^-1 = (a^m)^-1 = a^-m
Como -minZ, segue que x^-1in G.

Resposta

Portanto, G contém a identidade, é fechado e contém inversos, logo é um subgrupo de l(R+^*, cdotr).

Exercícios relacionados