a) Mostre que
é um subgrupo de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é um subgrupo de
.
O conteúdo é teoria de grupos: para mostrar que é subgrupo, basta verificar que (i) a identidade de
está em
, (ii)
é fechado sob o produto, e (iii) todo elemento de
tem inverso em
.
é um subgrupo de
O conteúdo é teoria de grupos: para mostrar que
Passo 2
Identidade: na multiplicação em
, o elemento neutro é
. Como
segue que
.
Passo 3
Fechamento: seja
. Então existem
tais que
e
. Logo
Como
, concluímos que
.
Passo 4
Inversos: seja
. Então
para algum
. O inverso de
em
é
Como
, segue que
.
Resposta
Portanto,
contém a identidade, é fechado e contém inversos, logo é um subgrupo de
.