Prove que a função f(x)=ln (x) é um isomorfismo entre os grupos (R*^+, cdot) e ( R,+).

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon R*^+to R, f(x)=ln(x),
queremos mostrar que ela é isomorfismo de grupos entre l(R*^+,cdotr) e l(R,+r). Para isso precisamos verificar dois pontos:
  1. f é homomorfismo de grupos, ou seja, preserva a operação.
  2. f é bijetiva (injetiva e sobrejetiva).

Passo 2

Mostramos que f preserva a operação: para quaisquer x,y>0,
f(xcdot y)=ln(xy)
Pela propriedade do logaritmo, temos
ln(xy)=ln(x)+ln(y),
logo
f(xcdot y)=f(x)+f(y)
Isso prova que f é homomorfismo de grupos.

Passo 3

Provar injetividade. A função ln é estritamente crescente em R*^+. Logo, se
f(x1)=f(x2)Longrightarrow ln(x1)=ln(x2) Longrightarrow x1=x2
Isso garante que f é injetiva.

Passo 4

Provar sobrejetividade. Dado um elemento arbitrário yinR, basta escolher
x=e^y,
pois e^y>0 e
f(e^y)=lnl(e^yr)=y
Assim, para todo yinR existe x=e^yinR*^+ com f(x)=y, mostrando que f é sobrejetiva.

Resposta

A função f(x)=ln(x) é um homomorfismo bijetivo entre l(R*^+,cdotr) e l(R,+r), logo é um isomorfismo de grupos.

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