Prove que a função
é um isomorfismo entre os grupos
e (
.
Passo 1
O enunciado define a função
queremos mostrar que ela é isomorfismo de grupos entre
e
. Para isso precisamos verificar dois pontos:
-
é homomorfismo de grupos, ou seja, preserva a operação. -
é bijetiva (injetiva e sobrejetiva).
Passo 2
Mostramos que
preserva a operação: para quaisquer
,
Pela propriedade do logaritmo, temos
logo
Isso prova que
é homomorfismo de grupos.
Passo 3
Provar injetividade. A função
é estritamente crescente em
. Logo, se
Isso garante que
é injetiva.
Passo 4
Provar sobrejetividade. Dado um elemento arbitrário
, basta escolher
pois
e
Assim, para todo
existe
com
, mostrando que
é sobrejetiva.
Resposta
A função
é um homomorfismo bijetivo entre
e
, logo é um isomorfismo de grupos.