Mostre que para um O.H.S quantizado, teremos para um autoestado qualquer
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que, para um oscilador harmônico quantizado e para um autoestado qualquer rotulado por
, o produto das incertezas em posição e momento satisfaz
Informações dadas/implicadas que vamos usar:
- Há um autoestado de índice
, denotado por , que é autovetor do Hamiltoniano do oscilador harmônico quantizado. - Quer-se o produto das incertezas (desvios-padrão) de
e nesse estado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar, com calma, o que é incerteza (desvio-padrão) e valor esperado. Para um operador hermitiano
e um estado
:
No nosso caso vamos usar
e
. O objetivo é calcular
e
para o estado
.
Passo 3
Uma maneira prática de calcular essas expectativas é usar os operadores escalonadores (ladder operators). Definimos
e
por
Esses operadores satisfazem a relação de comutação
Invertendo as relações, expressamos
e
em termos de
e
:
Passo 4
Precisamos também das ações de
e
sobre os autoestados
:
Com isso vemos que, para o mesmo estado,
pois
é proporcional a
, ortogonal a
, e análogo para
. Portanto
Passo 5
Agora calculemos
. Usando
temos
Em um autoestado
valem
e
(porque
etc., vetores ortogonais a
). Resta avaliar
e
. Usando
obtemos
, e como
(número médio de fótons/fônons no estado
), temos
Somando,
Portanto
Passo 6
De forma análoga calculamos
. Usando
temos
Novamente
e
. Ficamos com
Passo 7
Agora as variâncias ficam simples porque
e
:
Portanto
Passo 8
Simplificando a expressão sob a raiz:
Esta é exatamente a relação pedida.