Mostre que
é harmônica em algum domínio quando
;
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que
é harmônica em algum domínio, sendo dado
Informações relevantes que temos: a expressão de
como polinômio em
e
; queremos verificar a condição que define uma função harmônica (ou seja, se a soma das segundas derivadas parciais é zero). Não há outras informações faltando.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar direitinho o que significa ser harmônica. Uma função
é dita harmônica num domínio se:
em todo ponto desse domínio, onde
é a segunda derivada parcial de
em relação a
e
é a segunda derivada parcial em relação a
. Para poder usar essa definição precisamos que
seja pelo menos de classe
(ou seja, tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas).
Passo 3
Verificação da regularidade: como
é um polinômio em
e
, ela é arbitrariamente diferenciável (classe
). Logo podemos calcular
e
em qualquer ponto de
.
Passo 4
Calculamos a primeira derivada parcial de
em relação a
. Ao derivar em relação a
tratamos
como constante. Aplicando as regras básicas:
-
, -
, -
(porque é constante em relação a ).
Portanto,
Passo 5
Agora a segunda derivada parcial em relação a
: derivamos
em relação a
.
-
, -
, -
.
Logo
Passo 6
Calculamos a primeira derivada parcial de
em relação a
. Ao derivar em
tratamos
como constante. Aplicando as regras:
-
, -
, -
.
Portanto,
Passo 7
Agora a segunda derivada parcial em relação a
: derivamos
em relação a
.
-
(pois é constante).
Assim
Passo 8
Calculamos o laplaciano somando as duas segundas derivadas:
Como a soma das segundas derivadas parciais é identicamente zero em todos os pontos,
satisfaz a equação de Laplace.
Passo 9
Conclusão sobre o domínio: como as derivadas existem e são contínuas em todo
e a igualdade
vale para todo ponto de
, a função
é harmônica em
. Em particular, ela é harmônica em qualquer domínio (qualquer conjunto aberto e conexo) contido em
.