Mostre que u(x, y) é harmônica em algum domínio quando
u(x, y)=2 x-x^{3}+3 x y^{2};

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que u(x,y) é harmônica em algum domínio, sendo dado
u(x,y)=2x - x^{3} + 3xy^{2}.
Informações relevantes que temos: a expressão de u como polinômio em x e y; queremos verificar a condição que define uma função harmônica (ou seja, se a soma das segundas derivadas parciais é zero). Não há outras informações faltando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar direitinho o que significa ser harmônica. Uma função u(x,y) é dita harmônica num domínio se:
\Delta u = u_{xx} + u_{yy} = 0
em todo ponto desse domínio, onde u_{xx} é a segunda derivada parcial de u em relação a x e u_{yy} é a segunda derivada parcial em relação a y. Para poder usar essa definição precisamos que u seja pelo menos de classe C^2 (ou seja, tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas).

Passo 3

Verificação da regularidade: como u é um polinômio em x e y, ela é arbitrariamente diferenciável (classe C^\infty). Logo podemos calcular u_{xx} e u_{yy} em qualquer ponto de \mathbb{R}^2.

Passo 4

Calculamos a primeira derivada parcial de u em relação a x. Ao derivar em relação a x tratamos y como constante. Aplicando as regras básicas:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(2x)=2,
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(-x^{3})=-3x^{2},
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(3xy^{2})=3y^{2} (porque y^{2} é constante em relação a x).
Portanto,
u_{x}=2-3x^{2}+3y^{2}.

Passo 5

Agora a segunda derivada parcial em relação a x: derivamos u_{x} em relação a x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(2)=0,
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(-3x^{2})=-6x,
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(3y^{2})=0.
Logo
u_{xx}=-6x.

Passo 6

Calculamos a primeira derivada parcial de u em relação a y. Ao derivar em y tratamos x como constante. Aplicando as regras:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(2x)=0,
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(-x^{3})=0,
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(3xy^{2})=3x\cdot 2y = 6xy.
Portanto,
u_{y}=6xy.

Passo 7

Agora a segunda derivada parcial em relação a y: derivamos u_{y} em relação a y.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(6xy)=6x (pois x é constante).
Assim
u_{yy}=6x.

Passo 8

Calculamos o laplaciano somando as duas segundas derivadas:
\Delta u = u_{xx}+u_{yy} = (-6x) + (6x) = 0.
Como a soma das segundas derivadas parciais é identicamente zero em todos os pontos, u satisfaz a equação de Laplace.

Passo 9

Conclusão sobre o domínio: como as derivadas existem e são contínuas em todo \mathbb{R}^2 e a igualdade \Delta u=0 vale para todo ponto de \mathbb{R}^2, a função u é harmônica em \mathbb{R}^2. Em particular, ela é harmônica em qualquer domínio (qualquer conjunto aberto e conexo) contido em \mathbb{R}^2.

Resposta

u é harmônica em \mathbb{R}^2 (portanto em qualquer domínio aberto de \mathbb{R}^2).

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