Mostre que
\log (-1+\sqrt{3} i)=\ln 2+2\left(n+\frac{1}{3}\right) \pi i, n \in \mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\log(-1+\sqrt{3}\, i)=\ln 2+2\left(n+\frac{1}{3}\right)\pi i,\quad n\in\mathbb{Z}.
As informações dadas são o número complexo z=-1+\sqrt{3}\, i e a fórmula que devemos obter para \log z. Não se resolve nada neste passo, só identificamos o que está dado e o que se pede.

Passo 2

Vamos lembrar o que é o logaritmo complexo e por que ele é multivalorado. Para z\neq 0 temos a representação polar
z=|z|e^{i\theta},
onde |z| é o módulo de z e \theta é um argumento de z. O logaritmo complexo é então
\log z=\ln|z|+i(\theta+2\pi n),\quad n\in\mathbb{Z},
porque se e^{i\theta} descreve a direção de z, então adicionar 2\pi n ao ângulo dá a mesma direção (multiplicando por e^{i2\pi n}=1). Aqui \ln|z| é o logaritmo natural do módulo (um número real) e \theta+2\pi n são os possíveis argumentos (parte imaginária).

Passo 3

Calcular o módulo de z=-1+\sqrt{3}\, i. Pelo modo padrão,
|z|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
Portanto a parte real do logaritmo será \ln|z|=\ln 2.

Passo 4

Determinar um argumento de z. Observe que
-1+\sqrt{3}\, i = 2\left(-\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i\right).
Sabemos que \cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2} e \sin\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Logo o fator entre parênteses é e^{i2\pi/3}. Assim um argumento (o argumento principal) é
\theta=\frac{2\pi}{3}.
(Alternativamente, poderíamos usar \theta=\operatorname{atan2}(\sqrt{3},-1)=\pi-\arctan(\sqrt{3})=\pi-\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{2\pi}{3}.)

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula multivalorada do logaritmo. Com |z|=2 e \theta=\tfrac{2\pi}{3} obtemos
\log z=\ln 2 + i\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb{Z}.
Fatorando 2\pi temos
\log z=\ln 2 + 2\pi i\left(n+\frac{1}{3}\right),
que é exatamente a expressão pedida.

Passo 6

Verificação rápida: exponenciando a expressão geral obtemos
e^{\ln 2 + i(2\pi/3+2\pi n)}=2\cdot e^{i2\pi/3}\cdot e^{i2\pi n}=2\cdot e^{i2\pi/3}= -1+\sqrt{3}\, i,
pois e^{i2\pi n}=1. Isso confirma que todas as quantias encontradas são logaritmos válidos de z.

Resposta

\ln 2+2\left(n+\frac{1}{3}\right)\pi i,\; n\in\mathbb{Z}

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