Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
As informações dadas são o número complexo
e a fórmula que devemos obter para
. Não se resolve nada neste passo, só identificamos o que está dado e o que se pede.
Passo 2
Vamos lembrar o que é o logaritmo complexo e por que ele é multivalorado. Para
temos a representação polar
onde
é o módulo de
e
é um argumento de
. O logaritmo complexo é então
porque se
descreve a direção de
, então adicionar
ao ângulo dá a mesma direção (multiplicando por
). Aqui
é o logaritmo natural do módulo (um número real) e
são os possíveis argumentos (parte imaginária).
Passo 3
Calcular o módulo de
. Pelo modo padrão,
Portanto a parte real do logaritmo será
.
Passo 4
Determinar um argumento de
. Observe que
Sabemos que
e
. Logo o fator entre parênteses é
. Assim um argumento (o argumento principal) é
(Alternativamente, poderíamos usar
.)
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula multivalorada do logaritmo. Com
e
obtemos
Fatorando
temos
que é exatamente a expressão pedida.
Passo 6
Verificação rápida: exponenciando a expressão geral obtemos
pois
. Isso confirma que todas as quantias encontradas são logaritmos válidos de
.