Mostre que:
i) Se x_{n}>0, \forall n \in \mathbb{N}, e \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=a<1, então vale que \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0.
ii) Use o item anterior para mostrar que \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{k}}{\alpha^{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\alpha^{n}}{n!}=0, onde k \in \mathbb{N} e \alpha>1.

Passo 1

O enunciado trata de sequências positivas \{x_n\} em que
\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=a<1
e pede para mostrar que \lim_{n\to\infty}x_n=0. Em seguida, usar esse fato para provar que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^k}{\alpha^n}=0 e \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\alpha^n}{n!}=0, com k\in\mathbb{N} e \alpha>1.

Passo 2

Como \lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=a<1, escolhemos um r tal que
a<r<1.
Pela definição de limite, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\frac{x_{n+1}}{x_n}<r.
Isto equivale a
x_{n+1}<r\,x_n,\quad\forall n\ge N.

Passo 3

Do passo anterior usamos indução para obter, para todo n\ge N,
x_n < x_N\,r^{\,n-N}.
Como 0<r<1, temos r^{\,n-N}\to 0 quando n\to\infty. Logo
\lim_{n\to\infty}x_n = 0,
que prova o item (i).

Passo 4

Para \displaystyle x_n=\frac{n^k}{\alpha^n}, calculemos
\frac{x_{n+1}}{x_n} =\frac{\tfrac{(n+1)^k}{\alpha^{\,n+1}}}{\tfrac{n^k}{\alpha^n}} =\biggl(\frac{n+1}{n}\biggr)^{\!k}\frac1\alpha \;\longrightarrow\;\frac1\alpha<1.
Pelo item (i) concluímos
\lim_{n\to\infty}\frac{n^k}{\alpha^n}=0.

Passo 5

Para \displaystyle y_n=\frac{\alpha^n}{n!}, temos
\frac{y_{n+1}}{y_n} =\frac{\tfrac{\alpha^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\tfrac{\alpha^n}{n!}} =\frac\alpha{n+1} \;\longrightarrow\;0<1.
Novamente pelo item (i) segue
\lim_{n\to\infty}\frac{\alpha^n}{n!}=0.

Resposta

\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=0, \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^k}{\alpha^n}=0 e \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\alpha^n}{n!}=0.

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