Mostre que, se \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|=0, então \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0.

Passo 1

O enunciado trata de uma sequência real (a_n) e afirma que
\lim_{n\to\infty}|a_n| = 0
Queremos mostrar, a partir disso, que
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

Passo 2

Lembramos a definição de limite de sequência: dizer que \lim_{n\to\infty}a_n = 0 significa que, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n>N, vale
|a_n - 0| < \varepsilon.

Passo 3

Pela hipótese \lim_{n\to\infty}|a_n|=0, para um dado \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, sempre que n>N, ocorre
\bigl||a_n| - 0\bigr| < \varepsilon.

Passo 4

Mas \bigl||a_n| - 0\bigr| = |a_n| e, além disso, |a_n| = |a_n - 0|. Portanto, para todo n>N temos
|a_n-0| < \varepsilon,
o que é exatamente a definição de \lim_{n\to\infty}a_n=0.

Resposta

\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

Exercícios relacionados