Prove que, se \left(a_{n}\right) converge, então, para cada p \geq 1,
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+p}-a_{n}\right)=0

Passo 1

O enunciado diz que \bigl(a_n\bigr) é uma sequência que converge. Queremos mostrar que, para p\ge1 fixo,
\lim_{n\to\infty}\bigl(a_{n+p}-a_n\bigr)=0.
Para isso vamos usar a definição de convergência de sequência (isto é, dado \varepsilon>0 existe N tal que \lvert a_n - L\rvert<\varepsilon) e a desigualdade triangular.

Passo 2

Como \bigl(a_n\bigr) converge, existe L\in\mathbb{R} tal que
\lim_{n\to\infty}a_n = L.
Logo, para cada \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo índice m\ge N, vale
\lvert a_m - L\rvert < \frac{\varepsilon}{2}.

Passo 3

Agora fixamos o mesmo N do passo anterior. Se n\ge N, então também n+p\ge N (pois p é fixo). Logo, para n\ge N temos
\lvert a_n - L\rvert < \frac{\varepsilon}{2} \quad\text{e}\quad \lvert a_{n+p} - L\rvert < \frac{\varepsilon}{2}.

Passo 4

Aplicamos a desigualdade triangular a \lvert a_{n+p}-a_n\rvert:
\lvert a_{n+p}-a_n\rvert \le \lvert a_{n+p}-L\rvert + \lvert a_n - L\rvert.
Pelos resultados do passo anterior, cada um desses termos é menor que \varepsilon/2, então
\lvert a_{n+p}-a_n\rvert < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.

Passo 5

Mostramos que dado \varepsilon>0 existe N (o mesmo de antes) tal que, para todo n\ge N,
\lvert a_{n+p}-a_n\rvert < \varepsilon.
Isso, por definição, implica
\lim_{n\to\infty}\bigl(a_{n+p}-a_n\bigr) = 0.

Resposta

0

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