Prove que, se
converge, então, para cada
,
Passo 1
O enunciado diz que
é uma sequência que converge. Queremos mostrar que, para
fixo,
Para isso vamos usar a definição de convergência de sequência (isto é, dado
existe
tal que
) e a desigualdade triangular.
Passo 2
Como
converge, existe
tal que
Logo, para cada
existe
tal que, para todo índice
, vale
Passo 3
Agora fixamos o mesmo
do passo anterior. Se
, então também
(pois
é fixo). Logo, para
temos
Passo 4
Aplicamos a desigualdade triangular a
:
Pelos resultados do passo anterior, cada um desses termos é menor que
, então
Passo 5
Mostramos que dado
existe
(o mesmo de antes) tal que, para todo
,
Isso, por definição, implica