A sequência \left(x_{n}\right) tal que x_{n}=\frac{(-1)^{n} \operatorname{sen}(n)}{3} possui alguma subsequência convergente? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
x_{n} = \frac{(-1)^{n}\,\operatorname{sen}(n)}{3}
e pergunta se ela possui alguma subsequência convergente. O conteúdo principal é teoria de sequências reais: em particular, uso do Teorema de Bolzano–Weierstrass (qualquer sequência real limitada tem subsequência convergente) e um exemplo explícito de subsequência, explorando o fato de que \operatorname{sen}(n) não converge mas se comporta de modo denso em [-1,1].

Passo 2

Vamos verificar que \bigl(x_{n}\bigr) é limitada. Como \bigl|\operatorname{sen}(n)\bigr|\le1 e \bigl|(-1)^{n}\bigr|=1, temos
\bigl|x_{n}\bigr| = \frac{\bigl|\operatorname{sen}(n)\bigr|}{3} \le \frac{1}{3}.
Logo \bigl(x_{n}\bigr) é limitada no intervalo \bigl[-\tfrac13,\tfrac13\bigr].

Passo 3

Pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass, toda sequência real limitada tem pelo menos uma subsequência convergente. Portanto, existe de fato alguma subsequência de \bigl(x_{n}\bigr) que converge a algum limite em \bigl[-\tfrac13,\tfrac13\bigr].

Passo 4

Para construir explicitamente uma subsequência que converge, note que \pi é irracional, então os valores n (em radianos) ficam densos em torno de múltiplos de \pi. Em particular, existem inteiros n_{k} tais que
\bigl|n_{k}-k\pi\bigr| < \frac1{k}.
Então
\operatorname{sen}(n_{k}) = \operatorname{sen}\bigl(k\pi + (n_{k}-k\pi)\bigr) = \operatorname{sen}(k\pi)\cos(n_{k}-k\pi) + \cos(k\pi)\operatorname{sen}(n_{k}-k\pi).
Como \operatorname{sen}(k\pi)=0 e \cos(k\pi)=(-1)^{k}, e \operatorname{sen}(n_{k}-k\pi)\to0, segue que \operatorname{sen}(n_{k})\to0. Logo
x_{n_{k}} = \frac{(-1)^{n_{k}}\,\operatorname{sen}(n_{k})}{3} \longrightarrow 0.
Assim, \bigl(x_{n_{k}}\bigr) é uma subsequência que converge a 0.

Resposta

Sim. Por Bolzano–Weierstrass existe ao menos uma subsequência convergente, e um exemplo explícito é construir n_{k} aproximando k\pi, o que faz \operatorname{sen}(n_{k})\to0 e, portanto,
x_{n_{k}} \to 0.

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