A sequência \left(x_{n}\right) tal que x_{n}=\frac{(-1)^{n} \operatorname{sen}(n)}{3} possui alguma subsequência convergente? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
x_{n} = \frac{(-1)^{n}\,\operatorname{sen}(n)}{3}
e pergunta se ela possui alguma subsequência convergente. O conteúdo principal é teoria de sequências reais: em particular, uso do Teorema de Bolzano–Weierstrass (qualquer sequência real limitada tem subsequência convergente) e um exemplo explícito de subsequência, explorando o fato de que \operatorname{sen}(n) não converge mas se comporta de modo denso em [-1,1].
Passo 2
Vamos verificar que \bigl(x_{n}\bigr) é limitada. Como \bigl|\operatorname{sen}(n)\bigr|\le1 e \bigl|(-1)^{n}\bigr|=1, temos
Logo \bigl(x_{n}\bigr) é limitada no intervalo \bigl[-\tfrac13,\tfrac13\bigr].
Passo 3
Pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass, toda sequência real limitada tem pelo menos uma subsequência convergente. Portanto, existe de fato alguma subsequência de \bigl(x_{n}\bigr) que converge a algum limite em \bigl[-\tfrac13,\tfrac13\bigr].
Passo 4
Para construir explicitamente uma subsequência que converge, note que \pi é irracional, então os valores n (em radianos) ficam densos em torno de múltiplos de \pi. Em particular, existem inteiros n_{k} tais que
Assim, \bigl(x_{n_{k}}\bigr) é uma subsequência que converge a 0.
Resposta
Sim. Por Bolzano–Weierstrass existe ao menos uma subsequência convergente, e um exemplo explícito é construir n_{k} aproximando k\pi, o que faz \operatorname{sen}(n_{k})\to0 e, portanto,