Mostre que a sequência (
) definida recursivamente por
converge e calcule seu limite.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a sequência
definida por
e queremos mostrar que ela converge e determinar seu limite. O conteúdo que vamos usar é o Teorema da convergência de sequências monotônicas: toda sequência crescente e limitada superiormente converge.
Passo 2
Mostramos que
é crescente, isto é, que
para todo
. Para
Suponha agora que
. Como a função
é crescente para
, temos
Pelo princípio da indução, a sequência é crescente.
Passo 3
Escolhemos como candidato a limite superior
Vamos provar por indução que
para todo
.
Base :
pois
.
Passo indutivo: suponha . Então
Base
Passo indutivo: suponha
Mas
satisfaz
(como veremos em seguida), logo
. Concluímos
. Assim
é limitada superiormente por
.
Passo 4
Pela monotonia crescente (Passo 2) e pelo fato de estar limitada superiormente (Passo 3), o Teorema da convergência de sequências monotônicas garante que
converge.
Passo 5
Se
existe, passando na relação de recorrência ao limite obtemos
Elevando ao quadrado,
As raízes são
, mas como
é positiva, temos
Resposta
A sequência converge e