Mostre que a sequência ( a_{n} ) definida recursivamente por
a_{1}=1 \quad \text { e } \quad a_{n}=\sqrt{1+a_{n-1}}, \quad n \geq 2
converge e calcule seu limite.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a sequência (a_n) definida por
a_{1}=1, \qquad a_{n}=\sqrt{1+a_{n-1}}\quad(n\ge2),
e queremos mostrar que ela converge e determinar seu limite. O conteúdo que vamos usar é o Teorema da convergência de sequências monotônicas: toda sequência crescente e limitada superiormente converge.

Passo 2

Mostramos que (a_n) é crescente, isto é, que
a_n > a_{n-1}
para todo n\ge2. Para n=2
a_2 = \sqrt{1 + a_1} = \sqrt{2} > 1 = a_1.
Suponha agora que a_{n-1}>a_{n-2}. Como a função x\mapsto\sqrt{1+x} é crescente para x\ge0, temos
a_n = \sqrt{1 + a_{n-1}} > \sqrt{1 + a_{n-2}} = a_{n-1}.
Pelo princípio da indução, a sequência é crescente.

Passo 3

Escolhemos como candidato a limite superior
M = \frac{1+\sqrt{5}}{2}.
Vamos provar por indução que a_n \le M para todo n.
Base n=1: a_1 = 1 < M pois M\approx1,618.
Passo indutivo: suponha a_{n-1}\le M. Então
a_n = \sqrt{1 + a_{n-1}} \le \sqrt{1 + M}.
Mas M satisfaz M = \sqrt{1+M} (como veremos em seguida), logo \sqrt{1+M}=M. Concluímos a_n\le M. Assim (a_n) é limitada superiormente por M.

Passo 4

Pela monotonia crescente (Passo 2) e pelo fato de estar limitada superiormente (Passo 3), o Teorema da convergência de sequências monotônicas garante que (a_n) converge.

Passo 5

Se \ell=\lim_{n\to\infty}a_n existe, passando na relação de recorrência ao limite obtemos \ell = \sqrt{1 + \ell}. Elevando ao quadrado,
\ell^2 = 1 + \ell \quad\Longrightarrow\quad \ell^2 - \ell - 1 = 0.
As raízes são \tfrac{1\pm\sqrt5}2, mas como (a_n) é positiva, temos
\ell = \frac{1+\sqrt5}{2}.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_n = \frac{1+\sqrt5}{2}.

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