Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade
As informações implícitas que vamos usar são:
e
são funções escalares suficientemente suaves (pelo menos duas vezes diferenciáveis) definidas em um volume
e
é a superfície fechada que delimita
, com
orientado pela normal exterior. A tarefa é provar que a integral tripla do lado esquerdo é igual à integral de superfície do lado direito.
Passo 2
Vou revisar os operadores que vamos usar — com calma, como num bom passo-a-passo.
Definições e regras que usaremos:
- O gradiente de uma função escalar
é o vetor
Ele aponta na direção de maior crescimento de
.
- A divergência de um campo vetorial
é o escalar
Intuitivamente mede a “taxa de saída” do campo por unidade de volume.
- O laplaciano de uma função escalar
é
- Regra do produto para divergência (análogo à regra do produto em 1D): para um escalar
e um campo vetorial ,
Isto resulta da diferenciação componente a componente.
Exemplo rápido para fixar: se
e
, então
Aqui usei a regra do produto com
.
Passo 3
Formule um campo vetorial cuja divergência produza o integrando do lado esquerdo. Defina
Agora calcule a divergência de
usando linearidade e a regra do produto:
Primeiro, pela linearidade,
Aplicando a regra do produto em cada termo:
Subtraindo os dois resultados:
Observe que os termos mistos
e
são iguais (o produto escalar é comutativo), portanto se cancelam. Assim sobra
Portanto mostramos que o integrando na integral tripla do enunciado é exatamente
.
Passo 4
Agora usamos o Teorema da Divergência (também chamado Teorema de Gauss). Ele diz, para um campo vetorial
suficientemente suave em
com fronteira
orientada pela normal exterior, que
Aqui
é o vetor elemento de superfície apontando para fora, e o produto escalar
mede o fluxo de
através da superfície.
Passo 5
Combine os resultados dos passos anteriores. Substituindo
no teorema da divergência, obtemos
E como
, isso é exatamente
Portanto a identidade pedida fica comprovada, sob as hipóteses usuais de suavidade das funções.