Mostre que
\iiint_{V}\left(\varphi \nabla^{2} \psi-\psi \nabla^{2} \varphi\right) d V=\oiint_{S}(\varphi \vec{\nabla} \psi-\psi \vec{\nabla} \varphi) \cdot d \vec{s}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade
\iiint_{V}\big(\varphi\,\nabla^{2}\psi-\psi\,\nabla^{2}\varphi\big)\,dV=\oiint_{S}\big(\varphi\,\vec{\nabla}\psi-\psi\,\vec{\nabla}\varphi\big)\cdot d\vec{s}.
As informações implícitas que vamos usar são: \varphi e \psi são funções escalares suficientemente suaves (pelo menos duas vezes diferenciáveis) definidas em um volume V e S é a superfície fechada que delimita V, com d\vec{s} orientado pela normal exterior. A tarefa é provar que a integral tripla do lado esquerdo é igual à integral de superfície do lado direito.

Passo 2

Vou revisar os operadores que vamos usar — com calma, como num bom passo-a-passo.
Definições e regras que usaremos:
  • O gradiente de uma função escalar \psi é o vetor
\vec{\nabla}\psi=\left(\frac{\partial \psi}{\partial x},\frac{\partial \psi}{\partial y},\frac{\partial \psi}{\partial z}\right).
Ele aponta na direção de maior crescimento de \psi.
  • A divergência de um campo vetorial \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) é o escalar
\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}.
Intuitivamente mede a “taxa de saída” do campo por unidade de volume.
  • O laplaciano de uma função escalar \psi é
\nabla^{2}\psi=\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\psi)=\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial z^{2}}.
  • Regra do produto para divergência (análogo à regra do produto em 1D): para um escalar f e um campo vetorial \vec{A},
\vec{\nabla}\cdot(f\vec{A})=\vec{\nabla}f\cdot\vec{A}+f\,\vec{\nabla}\cdot\vec{A}.
Isto resulta da diferenciação componente a componente.
Exemplo rápido para fixar: se \vec{A}=\vec{\nabla}\psi e f=\varphi, então
\vec{\nabla}\cdot(\varphi\,\vec{\nabla}\psi)=\vec{\nabla}\varphi\cdot\vec{\nabla}\psi+\varphi\,\nabla^{2}\psi.
Aqui usei a regra do produto com \vec{A}=\vec{\nabla}\psi.

Passo 3

Formule um campo vetorial cuja divergência produza o integrando do lado esquerdo. Defina
\vec{F}=\varphi\,\vec{\nabla}\psi-\psi\,\vec{\nabla}\varphi.
Agora calcule a divergência de \vec{F} usando linearidade e a regra do produto:
Primeiro, pela linearidade,
\vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\vec{\nabla}\cdot(\varphi\,\vec{\nabla}\psi)-\vec{\nabla}\cdot(\psi\,\vec{\nabla}\varphi).
Aplicando a regra do produto em cada termo:
\vec{\nabla}\cdot(\varphi\,\vec{\nabla}\psi)=\vec{\nabla}\varphi\cdot\vec{\nabla}\psi+\varphi\,\nabla^{2}\psi,
\vec{\nabla}\cdot(\psi\,\vec{\nabla}\varphi)=\vec{\nabla}\psi\cdot\vec{\nabla}\varphi+\psi\,\nabla^{2}\varphi.
Subtraindo os dois resultados:
\vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\big(\vec{\nabla}\varphi\cdot\vec{\nabla}\psi+\varphi\,\nabla^{2}\psi\big)-\big(\vec{\nabla}\psi\cdot\vec{\nabla}\varphi+\psi\,\nabla^{2}\varphi\big).
Observe que os termos mistos \vec{\nabla}\varphi\cdot\vec{\nabla}\psi e \vec{\nabla}\psi\cdot\vec{\nabla}\varphi são iguais (o produto escalar é comutativo), portanto se cancelam. Assim sobra
\vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\varphi\,\nabla^{2}\psi-\psi\,\nabla^{2}\varphi.
Portanto mostramos que o integrando na integral tripla do enunciado é exatamente \vec{\nabla}\cdot\vec{F}.

Passo 4

Agora usamos o Teorema da Divergência (também chamado Teorema de Gauss). Ele diz, para um campo vetorial \vec{F} suficientemente suave em V com fronteira S orientada pela normal exterior, que
\iiint_{V}\vec{\nabla}\cdot\vec{F}\,dV=\oiint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{s}.
Aqui d\vec{s}=\hat{n}\,dS é o vetor elemento de superfície apontando para fora, e o produto escalar \vec{F}\cdot d\vec{s} mede o fluxo de \vec{F} através da superfície.

Passo 5

Combine os resultados dos passos anteriores. Substituindo \vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\varphi\,\nabla^{2}\psi-\psi\,\nabla^{2}\varphi no teorema da divergência, obtemos
\iiint_{V}\big(\varphi\,\nabla^{2}\psi-\psi\,\nabla^{2}\varphi\big)\,dV =\iiint_{V}\vec{\nabla}\cdot\vec{F}\,dV =\oiint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{s}.
E como \vec{F}=\varphi\,\vec{\nabla}\psi-\psi\,\vec{\nabla}\varphi, isso é exatamente
\oiint_{S}\big(\varphi\,\vec{\nabla}\psi-\psi\,\vec{\nabla}\varphi\big)\cdot d\vec{s}.
Portanto a identidade pedida fica comprovada, sob as hipóteses usuais de suavidade das funções.

Resposta

\iiint_{V}\big(\varphi\,\nabla^{2}\psi-\psi\,\nabla^{2}\varphi\big)\,dV=\oiint_{S}\big(\varphi\,\vec{\nabla}\psi-\psi\,\vec{\nabla}\varphi\big)\cdot d\vec{s}

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