Mostre que
\iiint_{V} \vec{\nabla} \times \vec{A} d V=\iint_{S} \hat{n} \times \vec{B} d S

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar a igualdade
\iiint_{V} \vec{\nabla}\times \vec{A}\, dV \;=\; \iint_{S} \hat{n}\times \vec{B}\, dS.
Informações/hipóteses que tomamos (implícitas ou necessárias):
  • V é um volume no espaço com superfície de contorno S suave e orientada pela normal unitária externa \hat{n}.
  • \vec{A} (e \vec{B}, se aparecer) é um campo vetorial suficientemente suave em V (derivadas parciais contínuas).
  • Observação: a identidade padrão que conhecemos é
\iiint_{V} \vec{\nabla}\times \vec{A}\, dV = \iint_{S} \hat{n}\times \vec{A}\, dS.
Portanto, para que a igualdade pedida seja válida sem ambiguidade, vou assumir que \vec{B}=\vec{A}. Se o enunciado queria um \vec{B} diferente, é preciso relacionar \vec{B} e \vec{A}; sem essa relação não há como prosseguir. A partir daqui trabalho com a forma consistente da identidade:
\iiint_{V} \vec{\nabla}\times \vec{A}\, dV = \iint_{S} \hat{n}\times \vec{A}\, dS.

Passo 2

Estratégia (resumida): vamos provar a igualdade componente a componente, usando uma identidade vetorial e o teorema da divergência (Gauss). Primeiro apresento a identidade vetorial que precisamos:
para quaisquer campos vetoriais \vec{u} e \vec{v} vale
\vec{\nabla}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=\vec{v}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{u})-\vec{u}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{v}).
Explicando essa identidade de forma simples: ela é uma versão do produto vetorial dentro da operação divergência — pode ser verificada escrevendo componentes ou usando símbolos de Levi-Civita, mas aqui só precisamos de uma consequência imediata: se \vec{u} é constante (por exemplo, um vetor unitário \hat{e}_i), então \vec{\nabla}\times\vec{u}=\vec{0} e a identidade reduz para
\vec{\nabla}\cdot(\hat{e}_i\times\vec{A}) = -\hat{e}_i\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{A}).
Isto é intuitivo: o divergente do produto cruzado entre um vetor constante e \vec{A} produz (com sinal) a componente i-ésima do rotacional de \vec{A}.

Passo 3

Converter isso em integral: fixo uma das três direções canônicas \hat{e}_i (com i=1,2,3). Da identidade do passo anterior segue
\hat{e}_i\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{A}) = -\vec{\nabla}\cdot(\hat{e}_i\times\vec{A}).
Integro ambos os lados sobre o volume V:
\iiint_{V} \hat{e}_i\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{A})\, dV = -\iiint_{V} \vec{\nabla}\cdot(\hat{e}_i\times\vec{A})\, dV.

Passo 4

Aplicar o teorema da divergência (Gauss) no lado direito. O teorema da divergência diz que, para um campo vetorial \vec{F} suave,
\iiint_{V} \vec{\nabla}\cdot\vec{F}\, dV = \iint_{S} \hat{n}\cdot\vec{F}\, dS.
Aqui \vec{F}=\hat{e}_i\times\vec{A}, então
-\iiint_{V} \vec{\nabla}\cdot(\hat{e}_i\times\vec{A})\, dV = -\iint_{S} \hat{n}\cdot(\hat{e}_i\times\vec{A})\, dS.
Portanto juntando com o passo anterior:
\iiint_{V} \hat{e}_i\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{A})\, dV = -\iint_{S} \hat{n}\cdot(\hat{e}_i\times\vec{A})\, dS.

Passo 5

Simplificar o produto escalar triple: usamos a identidade do produto escalar com produto vetorial (identidade cíclica):
\hat{n}\cdot(\hat{e}_i\times\vec{A}) = \hat{e}_i\cdot(\vec{A}\times\hat{n}).
Mas \vec{A}\times\hat{n} = -(\hat{n}\times\vec{A}). Substituindo:
\hat{n}\cdot(\hat{e}_i\times\vec{A}) = \hat{e}_i\cdot(\vec{A}\times\hat{n}) = -\hat{e}_i\cdot(\hat{n}\times\vec{A}).
Logo o lado direito do passo anterior fica
-\iint_{S} \hat{n}\cdot(\hat{e}_i\times\vec{A})\, dS = -\iint_{S} \bigl(-\hat{e}_i\cdot(\hat{n}\times\vec{A})\bigr)\, dS = \iint_{S} \hat{e}_i\cdot(\hat{n}\times\vec{A})\, dS.
Portanto chegamos à igualdade componente a componente
\iiint_{V} \hat{e}_i\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{A})\, dV = \iint_{S} \hat{e}_i\cdot(\hat{n}\times\vec{A})\, dS,
válida para i=1,2,3.

Passo 6

Como a igualdade vale para cada componente (i.e., projetando sobre cada base canônica \hat{e}_i), as duas integrais vetoriais são iguais como vetores. Concluímos então a identidade vetorial desejada:
\iiint_{V} \vec{\nabla}\times\vec{A}\, dV = \iint_{S} \hat{n}\times\vec{A}\, dS.
Comentário rápido e encorajador: essa demonstração é só uma combinação esperta de uma identidade vetorial (divergência do produto cruzado) com o teorema da divergência — é uma técnica padrão em provas de teoremas integrais vetoriais. Se gostares, a próxima eu mostro usando notação de Levi-Civita para ficar ainda mais clara a conta com índices!

Resposta

\iiint_{V} \vec{\nabla}\times \vec{A}\, dV \;=\; \iint_{S} \hat{n}\times \vec{A}\, dS

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