Mostre que
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar a igualdade
Informações/hipóteses que tomamos (implícitas ou necessárias):
-
é um volume no espaço com superfície de contorno suave e orientada pela normal unitária externa . -
(e , se aparecer) é um campo vetorial suficientemente suave em (derivadas parciais contínuas). - Observação: a identidade padrão que conhecemos é
Portanto, para que a igualdade pedida seja válida sem ambiguidade, vou assumir que
. Se o enunciado queria um
diferente, é preciso relacionar
e
; sem essa relação não há como prosseguir. A partir daqui trabalho com a forma consistente da identidade:
Passo 2
Estratégia (resumida): vamos provar a igualdade componente a componente, usando uma identidade vetorial e o teorema da divergência (Gauss). Primeiro apresento a identidade vetorial que precisamos:
para quaisquer campos vetoriais e
vale
para quaisquer campos vetoriais
Explicando essa identidade de forma simples: ela é uma versão do produto vetorial dentro da operação divergência — pode ser verificada escrevendo componentes ou usando símbolos de Levi-Civita, mas aqui só precisamos de uma consequência imediata: se
é constante (por exemplo, um vetor unitário
), então
e a identidade reduz para
Isto é intuitivo: o divergente do produto cruzado entre um vetor constante e
produz (com sinal) a componente
-ésima do rotacional de
.
Passo 3
Converter isso em integral: fixo uma das três direções canônicas
(com
). Da identidade do passo anterior segue
Integro ambos os lados sobre o volume
:
Passo 4
Aplicar o teorema da divergência (Gauss) no lado direito. O teorema da divergência diz que, para um campo vetorial
suave,
Aqui
, então
Portanto juntando com o passo anterior:
Passo 5
Simplificar o produto escalar triple: usamos a identidade do produto escalar com produto vetorial (identidade cíclica):
Mas
. Substituindo:
Logo o lado direito do passo anterior fica
Portanto chegamos à igualdade componente a componente
válida para
.
Passo 6
Como a igualdade vale para cada componente (i.e., projetando sobre cada base canônica
), as duas integrais vetoriais são iguais como vetores. Concluímos então a identidade vetorial desejada:
Comentário rápido e encorajador: essa demonstração é só uma combinação esperta de uma identidade vetorial (divergência do produto cruzado) com o teorema da divergência — é uma técnica padrão em provas de teoremas integrais vetoriais. Se gostares, a próxima eu mostro usando notação de Levi-Civita para ficar ainda mais clara a conta com índices!