Questăo 5 (1 ponto)

(Vibração de Molas - Movimento Harmônico Simples) Consideremos o movimento de um objeto com massa m na extremidade de uma mola que está na vertical ou na horizontal sobre uma superficie plana. Discutimos em sala a Lei de Hooke, que diz que, se uma mola for esticada (ou comprimida) x unidades a partir de seu tamanho natural, então ela exerce uma força que é proporcional a x :
\text { Força elástica }=-k xçá
onde k é uma constante positiva (chamada constante elástica). Se ignorarmos qualquer força de resistência externa (devido à resistencia do ar ou ao atrito), em seguida, pela Segunda Lei de Newton (força é igual a massa vezes aceleraçāo), temos
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-k x
Considere uma mola com uma massa de 2 kg tem comprimento natural de 0.5 m . Uma força de 25.6 N é necessária para mantê-la esticada até um comprimento de 0.7 m . Suponha que a mola é esticada até um comprimento de 0.7 m e , em seguida, libertada com uma velocidade inicial 0 . Assim, temos que x(0)=0.2, x^{\prime}(0)=0 e k=128 (pois pela lei de Hooke, como 0.2 k=25.6 \Rightarrow k=128 ).
Encontre a função posiçāo do objeto em função do tempo t.

Passo 1

O enunciado trata de movimento harmônico simples de uma massa presa a uma mola. Temos massa m=2 kg e constante elástica k=128 N/m. A equação diferencial que governa o movimento, sem amortecimento, vem da Lei de Hooke e da Segunda Lei de Newton:
m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -k\,x.
Precisamos resolver essa EDO de segunda ordem com as condições iniciais x(0)=0.2 e x'(0)=0.

Passo 2

Dividindo por m, obtemos a forma padrão do oscilador harmônico:
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{k}{m}\,x = 0.
Calculamos a frequência angular
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{128}{2}} = \sqrt{64} =8.
Logo a solução geral é
x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t) = A\cos(8t) + B\sin(8t).

Passo 3

Aplicamos as condições iniciais para determinar A e B.
Em t=0:
x(0) = A\cos(0) + B\sin(0) = A = 0.2.
A derivada é
x'(t) = -8A\sin(8t) + 8B\cos(8t),
e em t=0:
x'(0) = 8B = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = 0.

Resposta

A função posição é
x(t) = 0.2\cos(8t).

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