Questăo 5 (1 ponto)
(Vibração de Molas - Movimento Harmônico Simples) Consideremos o movimento de um objeto com massa
na extremidade de uma mola que está na vertical ou na horizontal sobre uma superficie plana. Discutimos em sala a Lei de Hooke, que diz que, se uma mola for esticada (ou comprimida)
unidades a partir de seu tamanho natural, então ela exerce uma força que é proporcional a
:
onde
é uma constante positiva (chamada constante elástica). Se ignorarmos qualquer força de resistência externa (devido à resistencia do ar ou ao atrito), em seguida, pela Segunda Lei de Newton (força é igual a massa vezes aceleraçāo), temos
Considere uma mola com uma massa de 2 kg tem comprimento natural de 0.5 m . Uma força de 25.6 N é necessária para mantê-la esticada até um comprimento de 0.7 m . Suponha que a mola é esticada até um comprimento de 0.7 m e , em seguida, libertada com uma velocidade inicial 0 . Assim, temos que
e
(pois pela lei de Hooke, como
).
Encontre a função posiçāo do objeto em função do tempo
.
Passo 1
O enunciado trata de movimento harmônico simples de uma massa presa a uma mola. Temos massa
kg e constante elástica
N/m. A equação diferencial que governa o movimento, sem amortecimento, vem da Lei de Hooke e da Segunda Lei de Newton:
Precisamos resolver essa EDO de segunda ordem com as condições iniciais
e
.
Passo 2
Dividindo por
, obtemos a forma padrão do oscilador harmônico:
Calculamos a frequência angular
Logo a solução geral é
Passo 3
Aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Em :
Em
A derivada é
e em
:
Resposta
A função posição é